Mostrar que $ad(X)$ es también diagonalisable.

Question

Deje $V$ ser una dimensiones vetor espacio de más de $\Bbb C$ y deje $x \in gl(V)$. Supongamos que $x$ es diagonalisable, con valores eigen $\lambda_1, ..., \lambda_n$. Mostrar que $ad(X)$ es también diagonalisable.

Yo estaba tratando de demostrar por $n=2$ en primer lugar, a continuación, supongamos que $X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$

$ad(X)(E_{11})=XE_{11}-E_{11}X=\begin{pmatrix} 0 & -b \\ c & 0 \\ \end{pmatrix}$ where $E_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Del mismo modo $ad(X)(E_{12})=\begin{pmatrix} -c & a-d \\ 0 & c \\ \end{pmatrix}$ where $E_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$ad(X)(E_{21})=\begin{pmatrix} b & 0 \\ d-a & -b \\ \end{pmatrix}$ where $E_{21}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ y

$ad(X)(E_{22})=\begin{pmatrix} 0 & b \\ -c & 0 \\ \end{pmatrix}$ where $E_{22}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Así, si escribimos la matriz de $ad(X)$ tenemos

$\begin{pmatrix} 0 & -c & b & 0 \\ -b & a-d & 0 & b \\ c & 0 & d-a & -c \\ 0 & c &-b & 0 \end{pmatrix}$

Ahora hay una manera para calcular los eigen valores y, a continuación, eigen vectores para demostrar que la matriz es diagonalizable. Pero hay otro camino más corto, porque tenemos que probarlo para $n$.

No he entendido a partir de Aquí. Si no hay ninguna otra manera. Soy nuevo en mathstack es por eso que he publicado como una pregunta con mi intento.

Answer 1

El punto clave de la respuesta a la pregunta "Si x es diagonalizable, entonces ad(x) también es diagonalizable" está en la primera línea

Tome $\mathcal{B}$ una base en la cual $x$ es diagonalizable y denotan $A$ de su matriz.

Desde $x$ es diagonalizable con autovalores $\lambda_1,\dotsc,\lambda_n$, puede escribir $X=\begin{pmatrix} \lambda_1&0 \\ 0&\lambda_2 \end{pmatrix}$ con una base adecuada $\mathcal{B}$, que es, $a=\lambda_1$, $d=\lambda_2$, y $b=c=0$ en su ejemplo, para $n=2$.

Entonces, como usted escribió, $ad(X)$ se convierte en una diagonal de la matriz diagonal con entradas $a-d$, $d-a$ y $a-a=d-d=0$.

¿Por qué no tratar de extender por el general $n$?