Subgrupos de índice finito de grupos de superficie

Question

No es difícil ver (digamos desde la perspectiva de los espacios de cobertura) que hay un número finito de subgrupos de un índice finito fijo $n$ en un grupo libre finitamente generado $F_n$ . Dada una superficie orientada cerrada $F$ ¿existe un número finito de subgrupos de $\pi_1(F)$ de un índice determinado? Si es así, ¿existe una fórmula para este número?

Answer 1

En general, si $G$ es cualquier grupo finitamente generado, entonces sólo tiene un número finito de subgrupos de cualquier índice dado. En efecto, si $H\subseteq G$ es un subgrupo de índice $n$ entonces es el estabilizador de un punto en una acción de $G$ en un conjunto con $n$ elementos (es decir, los cosets de $H$ ). Pero sólo hay un número finito de tales acciones, ya que $G$ es de generación finita, por lo que sólo puede haber un número finito de tales subgrupos $H$ .

No sé cómo contar cuántos subgrupos hay de un índice dado cuando $G=\pi_1(F)$ .

Answer 2

@Eric Wofsey ya ha explicado por qué el número de subgrupos de un índice dado es finito en un grupo finitamente generado, así que sólo intentaré reproducir la fórmula para contarlos.

Existe una especie de fórmula recursiva, en función del género $g$ de $F$ . Esto proviene del capítulo 14 del libro "Subgroup Growth", de Lubotzky y Segal. quienes atribuyen el resultado a A.D. Mednykh.

Dejemos que $a_n$ denotan el número de subgrupos de índice $n$ en $\pi_1(F)$ . Entonces $$a_n = \frac{1}{(n-1)!}h_n - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(n-k)!}h_{n-k}a_k,$$ donde $h_n$ es el número de homomorfismos de $\pi_1(F)$ al grupo simétrico $S_n$ . (De hecho, esto es independiente de $g$ y se mantiene para cualquier grupo en lugar de $\pi_1(F)$ .)

Pero, para los grupos de superficie $F$ del género $g$ (orientable o no orientable), existe una fórmula para $h_n$ que se basa en la teoría de la representación del grupo simétrico: $$h_n = (n!)^{2g-1}\sum_{\chi\in\operatorname{Irr}(S_n)}\chi(1)^{2-2g}.$$ Aquí, $\operatorname{Irr}(S_n)$ denota el conjunto de caracteres irreducibles del grupo simétrico $S_n$ .

Asumiendo que no he cometido ningún error en mi código, aquí están las expresiones en $g$ para los primeros valores de $n$ (por supuesto $a_1 =1$ para cualquier $g$ ) :

> a := proc(n,g)
>   local   k;
>   h(n,g)/(n-1)! - add( h(n-k,g)*thisproc(k,g),k=1..n-1)
> end proc:
> 
> h := proc( n, g )
>   uses    GroupTheory;
>   (n!)^(2*g-1) * `+`( op( map( `$` @ op, CharacterDegrees( CharacterTable( Symm( n ) ) ) ) ^~ (2-2*g) ) )
> end proc:

> for i from 2 to 5 do print(simplify(a(i,g))) end:       
                                                          g
                                                         4  - 1

                                                    g     g
                                                  36     9        g
                                                  --- + ---- - 2 4  + 1
                                                   6     3

                                         g      g     g     g
                                      576    144    64    36     g     g      g
                                      ---- + ---- + --- - --- - 9  - 16  + 3 4  - 1
                                       72     36     8     2

                      g      g         g      g         g       g     g      g
                 14400    900    23 576    400    25 144    7 64    36    5 9        g    (2 + 2 g)
                 ------ + ---- - ------- + ---- - ------- - ----- - --- + ---- + 3 16  - 2          + 1
                  1440     90      288      80      36        8      6     3

(Incluso las expresiones simplificadas se vuelven un poco confusas después).

Tenga en cuenta que es bastante fácil ver directamente por qué $a_2 = 4^g - 1$ . Cualquier subgrupo de índice $2$ es normal, por lo que $a_2$ sólo cuenta el número de homomorfismos de $\pi_1(F)$ en un grupo cíclico $C_2$ de orden $2$ . De la relación de definición de $\pi_1(F)$ que envía cualquier subconjunto no vacío del $2g$ al elemento no trivial de $C_2$ (y los demás a $1$ ) da lugar a un homomorfismo (suryente), que da lugar al valor $a_2 = 2^{2g} - 1 = 4^g - 1$ .