Demostrar que $76$ elevado a cualquier potencia entera y luego dividido por $100$ (ignorando el resto) es siempre divisible por $57$

Question

Pregunta relacionada (pero diferente): ¿Es cierto que $76^n=76\pmod{100}$ para todos $n>0$ ?

Si usted levanta $76$ a una potencia entera ( $n\ge2$ ) e ignorar los dos últimos dígitos, es aparece que siempre tiene un número entero que es divisible por $57$ porque la factorización del primo siempre parece implicar $3$ y $19$ :

$76^2$ = 57 76, y 57 = 3 x 19

$76^3$ = 4389 76, y 4389 = 3 x 7 x 11 x 19

$76^4$ = 333621 76, y 333621 = 3 x 3 x 19 x 1951

$76^5$ = 25355253 76, y 25355253 = 3 x 7 x 11 x 19 x 53 x 109

$76^6$ = 1926999285 76, y 1926999285 = 3 x 5 x 19 x 71 x 95231

$76^7$ = 146451945717 76, y 146451945717= 3 x 3 x 7 x 11 x 19 x 1951 x 5701

Answer 1

Una vez que aceptamos que $76^n$ siempre termina en $76$ La pregunta es: ¿es siempre cierto que $$\frac{76^n - 76}{100}$$ es siempre divisible por $57$ (es decir, tanto por $3$ y $19$ )?

Basta con centrarse en el numerador $76^n - 76$ ya que el denominador $100$ no tiene factores de $3$ o $19$ en él. El numerador

• es obviamente divisible por $19$ ya que $76 = 4 \cdot 19$ y
• se convierte en $1^n - 1$ cuando lo reducimos a módulo $3$ ,

por lo que es divisible por $57$ .

Answer 2

Otra forma de verlo:

$\frac {76^n - 76}{100} = \frac {76(76^{n-1} - 1)}{100} = \frac {19(76^{n-1}-1)}{25} = 19* \frac {(76 -1)(76^{n-2} + 76^{n-3} + ...... + 76 + 1)}{25} =$

$19*\frac {75(76^{n-2} + 76^{n-3} + ...... + 76 + 1)}{25} = 3*19*(76^{n-1} + 76^{n-2} + ...... + 76 + 1)$

Así que eso es todo.

Pero hay algunas observaciones interesantes. Si $n = m + 1$ es impar y $m$ es incluso entonces: $(76^{n-1=m} - 1) = (76^{2} - 1)(76^{m-2}+76^{m-4} + ... + 1) = (76-1)(76 + 1)(76^{m-2}+76^{m-4} + ... + 1)$ así que $7=7*11|7^{n-1} - 1$ así que para siempre impar $n$ , $57*77$ lo dividirá.

Asimismo, si $n = 3m + 1$ para algunos $m$ entonces $(76^{3m} - 1) = (76-1)(76^2 + 76 + 1)(76^{3m -3} + 76^{3m-6}.... + 1) = 7*(3*1951)*(76^{3m -3} + 76^{3m-6}.... + 1)$ .

Así que para $n = 4,7,10, etc.$ obtendrá $3*19*3*1951$ dividirá los valores.

Y podemos encontrar estos patrones durante todo el día.

$n = km + 1$ siempre significará $76^{m-1}+ 76^{m-2} + ... + 76+ 1$ dividirá el resultado.

Para $n = 4m + 1$ bien siempre tenemos $\frac{(76^2 + 1)(76^2 - 1)}{25}=3*53*109*7*11$ siempre dividirá los resultados.

Y así sucesivamente.

Answer 3

Divida los números en dos partes, separando las dos últimas cifras del resto.

Podemos calcular fácilmente:

$$76^2 = 5776 = 57\cdot100 + 76$$

Es evidente que la parte de las centenas es divisible por $57$ . Pero ten en cuenta que la parte baja es de nuevo $76$ .

Supongamos que podemos escribir las potencias así (con algún entero $k_n$ ):

$$76^n = 57 \cdot k_n \cdot100 + 76$$

entonces

$$76^{n+1} = 57 \cdot 76 \cdot k_n \cdot100 + 5776$$ $$= (57 \cdot 76 \cdot k_n + 57) \cdot 100 + 76$$

$$= 57 \cdot (76 \cdot k_n + 1) \cdot 100 + 76$$

Y la parte de las centenas vuelve a ser divisible por 57. También está el $76$ en la parte baja, por lo que $76^{n+1}$ también está en la forma asumida ( $k_{n+1} = 76 \cdot k_n + 1$ ). Dado que la suposición se mantiene para $n=2$ ( $k_2 = 1$ ), también es válido para cualquier poder superior.

Para $n=0$ o $n=1$ la parte de las centenas es cero, y por lo tanto es trivialmente divisible por cualquier cosa.

Answer 4

Utilizando la fórmula de la suma de una serie geométrica: $$\begin{align} \frac{76^n-76}{76-1} &=76\,\frac{76^{n-1}-1}{76-1}\\ &=76\left(76^{n-2}+76^{n-3}+\cdots+1\right) \end{align}$$ Por lo tanto, ya que $75\cdot76=5700$ , $$\begin{align} \frac{76^n-76}{100} &=57\left(76^{n-2}+76^{n-3}+\cdots+1\right) \end{align}$$