Una pregunta acerca de la probabilidad (en conflicto soluciones)

Question

No es un cuadrado de lado a $n$ unidades. Únete a las diagonales. Ahora la plaza está dividida en 4 regiones de igual área. Cada uno de ellos es de un color diferente. Se dan 2 puntos que pueden estar en cualquiera de las cuatro regiones, ¿cuál es la probabilidad de que los dos puntos están en el mismo color de la región?

El problema:

Yo y mi amigo se obtienen dos soluciones diferentes con dos diferentes líneas de razonamiento. Tiene que ver con el orden de los puntos a ser colocado:

Solución 1 (la mía): el orden en El que los puntos se colocan no importa. El número de maneras en 2 objetos idénticos pueden ser colocados en 4 regiones distintas es de 10 (estrellas y barras). De esos, hay 4 casos que cumplan la condición. Por lo tanto la probabilidad es $2/5$.

Solución 2 (mi amigo): El orden de los puntos se colocan importa. Eso significa que hay 16 maneras de colocar los puntos (4 orientaciones × 4 regiones). De los 4 casos satisfacen la condición. Por lo tanto la probabilidad es $1/4$.

Ahora, por supuesto, una línea de razonamiento debe estar equivocado. Que uno está equivocado? Una explicación es apreciado.

Answer 1

La primera solución es incorrecta y la segunda correcta. Cualquiera que sea su región en el primer punto se encuentra en, hay un $\frac14$ posibilidad de que el segundo punto será en la misma región.

La primera solución se supone que las probabilidades de tener los dos puntos en una región determinada, y los de tenerlos en dos por separado, dado que las regiones son el mismo, cuando en realidad el segundo es el doble de la primera.

Answer 2

El orden es importante. Considerar las cuatro regiones y los posibles asignaciones de dos puntos (label$1$$2$): $$\begin{align}&(1,2)(×)(×)(×); (1)(2)(×)(×); (1)(×)(2)(×); (1)(×)(×)(2); \\ &(2)(1)(×)(×); (×)(1,2)(×)(×); (×)(1)(2)(×); (×)(1)(×)(2); \\ &(2)(×)(1)(×); (×)(2)(1)(×); (×)(×)(1,2)(×); (×)(×)(1)(2); \\ &(2)(×)(×)(1); (×)(2)(×)(1); (×)(×)(2)(1); (×)(×)(×)(1,2). \end{align}$$ Hay cuatro resultados equiprobables con dos puntos en una región común, por lo tanto: $$P=\frac{4}{16}=\frac14.$$