¿Por qué la propiedad conmutativa de la adición no se cumple para las series condicionalmente convergentes?

Question

Hace poco aprendí el teorema de reordenación de Riemann y estoy tratando de desarrollar una intuición de por qué la conmutatividad se rompe para las series condicionalmente convergentes.

Entiendo la técnica utilizada en el teorema, pero me parece realmente impar que la conmutatividad se rompa. No ocurre para otras propiedades -- la asociatividad se mantiene para las series convergentes y la conmutatividad se mantiene para las series absolutamente convergentes. ¿Qué hace que esta propiedad particular para este tipo concreto de series convergentes sea "especial" de esta manera?

Soy consciente de esta cuestión: ¿por qué falla la conmutatividad de la adición para sumas infinitas? pero las respuestas no me han servido. La respuesta de JiK es "¿por qué habría de hacerlo?", y continúa hablando de por qué no se pueden aplicar reglas a series infinitas, pero esto parece erróneo porque la asociatividad se mantiene para las series convergentes y la conmutatividad se mantiene para las series absolutamente convergentes. Fly by Night sólo explica la convergencia condicional frente a la absoluta, josh314 dice que sólo se aplica a las sumas finitas, lo cual no es cierto, y Denis sólo explica el teorema de nuevo, y Barry Cipra parece tener un argumento similar al de JiK y problemático por razones similares.

¿Existe una buena manera de entender por qué está sucediendo esto de forma intuitiva? o ¿es esta la forma incorrecta de pensar en ello y debería simplemente aceptar que está sucediendo aunque sea poco intuitivo? Me resulta difícil dejarlo pasar sin una intuición porque parece que las matemáticas empiezan a "romperse" aquí el teorema es sólido pero esta propiedad ya no se mantiene en este caso, lo que me resulta realmente extraño

¿Alguien conoce algún recurso que profundice en este tipo de cuestiones?

Answer 1

La "conmutatividad" se define normalmente para dos elementos (la suma es en el fondo una operación binaria) y se extiende a cualquier número finito de elementos.

La operación de límite para sumas infinitas se define sin referencia a la propiedad conmutativa. Por lo tanto, no hay ninguna razón para que la operación límite respete la conmutatividad.

En el caso de la convergencia condicional, creo que es intuitivo ver que (a) la suma de los términos positivos por sí sola no tiene límites; (b) la suma de los términos negativos por sí sola no tiene límites; (c) si puedo cambiar el orden como quiera, puedo empujar los términos negativos tan abajo en el orden como quiera determinar, y como la suma de los positivos no tiene límites, puedo abrumar cada negativo con positivos; (d) Puedo igualmente empujar los positivos tan lejos como quiera en el orden, y abrumar a los positivos; por lo tanto (e) diferentes órdenes tienen diferentes comportamientos; y (f) la convergencia y los límites dependen del orden.

---

Para añadir una segunda idea, que puede ser útil. Puedo cambiar el orden de un número finito de sumandos en una suma infinita sin cambiar las propiedades de convergencia o límite. ¿Por qué? Porque entonces hay un $N$ después de lo cual nada ha cambiado, y la suma hasta $N$ también es el mismo que el original.

Así que podríamos decir que la propiedad conmutativa (finita) sigue siendo válida.

Answer 2

La cuestión aquí no es realmente la "conmutatividad". La cuestión es: ¿por qué el reordenamiento de los términos de una serie puede hacerla converger a un valor diferente?

La respuesta es que la definición del límite de una serie utiliza el orden de los términos para definir la secuencia de sumas parciales, y luego toma el límite de esa secuencia. Si se reordenan los términos, se obtiene una secuencia diferente de sumas parciales, y no hay ninguna razón para que la nueva secuencia de sumas parciales tenga que converger al mismo límite que la anterior.

Existe un tipo de convergencia que no utiliza el orden del conjunto de términos que se suman: suma desordenada . Si $A$ es un conjunto de números reales, entonces $\sum_{i \in A} i$ se define como el límite de $\sum_{i \in F} i$ sobre la red de subconjuntos finitos $F$ de $A$ . La suma desordenada no tiene "convergencia condicional": tenemos que $\sum_{i \in A} i$ converge si y sólo si $\sum_{i \in A} |i|$ converge.

Esto ayuda a mostrar cómo el fenómeno de la convergencia condicional está relacionado con el hecho de que los reordenamientos de una serie pueden converger a diferentes valores: es debido a la forma particular en que se toma el límite en la definición de convergencia de la serie.

El mismo fenómeno se produce en la integración. Una integral impropia como $\int_1^\infty f(x)\,dx$ converge si y sólo si $\lim_{k \to \infty} \int_1^k f(x)\,dx$ converge. Así que "reordenando los valores" de la función $f(x)$ de forma particularmente sencilla puede hacer que la integral impropia converja a un valor diferente, si la integral es condicionalmente convergente.

Por ejemplo, para cada serie $\sum a_n$ existe una función constante a trozos $f(x)$ para que $\int_1^\infty f(x)\,dx$ es exactamente $\sum a_n$ . A saber, $f(x)$ tiene valor $a_i$ en $[i, i+1)$ . Reordenando las piezas de la gráfica de $f(x)$ es lo mismo que reordenar la serie $a_n$ . Por lo tanto, la integral de Riemann impropia no sólo calcula el área entre el $x$ y el gráfico de $f(x)$ y la serie $\sum a_n$ no se limita a sumar los términos. Las definiciones de convergencia se basan fundamentalmente en una relación de orden subyacente para tomar un límite.

El tipo alternativo de integración conocido como integración de Lebesgue se parece más a la suma desordenada. No hay convergencia condicional en la integración de Lebesgue, y el reordenamiento de los valores de las funciones (a través de una transformación que preserve la medida) no puede hacer que una integral de Lebesgue convergente converja a un valor diferente.

Answer 3

Creo que la intuición "correcta" que debes tener aquí es:

La conmutatividad de la adición sólo garantiza que una suma se conserva después de finamente muchos términos se intercambian.

Es así sucede que lo anterior sigue siendo "válido" para una suma infinita, ya que se define como un límite de sumas parciales y, por tanto, a partir de cierto punto los términos intercambiados están todos incluidos en la suma parcial.

Es no implica que puede utilizar un permutación de los términos de la serie infinita, ya que evidentemente hay permutaciones que no pueden expresarse como una composición finita de permutas.

Answer 4

Consideremos una serie convergente pero absolutamente divergente, como $$\left\lbrace u_n= \frac{(-1)^n}{n}\right \rbrace_{n\geq 1}$$

Considera las partes positivas y negativas: $$u_n^+=u_n\qquad \text{if}\ \ u_n>0\qquad\qquad u_n^+=0\qquad\ \text{otherwise}$$ y $$u_n^-=u_n\qquad \text{if}\ \ u_n<0\qquad\qquad u_n^-=0\qquad\ \text{otherwise}$$ Reclamación: $\sum u_n^+$ diverge, y también lo hace $\sum u_n^-$ .

Prueba: Al menos uno de ellos tiene que divergir, ya que $\sum |u_n|$ diverge. Pero entonces el otro tiene que divergir también, de lo contrario $\sum u_n$ divergirían.

Así que nuestra serie contiene suficientes números positivos que tienden al infinito y suficientes números negativos que tienden al infinito en la otra dirección.

Reclamación 2: Para cualquier $\varepsilon >0$ , $u_n$ sólo contiene finitamente muchos términos de valor absoluto mayores que $\varepsilon$ .

Prueba: Esto se deduce directamente del hecho de que $\sum u_n$ converge.

Demostración intuitiva del teorema de Riemann: Según la reivindicación 1, se puede tomar la suma de algunas $u_n$ para acercarse a cualquier objetivo $L\in \Bbb R$ y por la afirmación 2 se puede decidir escoger el $u_n$ en un orden adecuado para Permanezca en cerca de $L$ (e incluso tienden a $L$ ).

También se puede decidir escoger los elementos en un orden que haga divergir la suma. El truco es darse cuenta de que una biyección $\Bbb N\to \Bbb N$ puede realmente estropear el orden intuitivo. Podrías tomar los dos mayores positivos $u_n$ , luego un negativo, luego el siguiente $4$ mayor positivo $u_n$ , luego el siguiente negativo, luego el siguiente $8$ positivo $u_n$ ... eso sería una biyección. Sin embargo, no sería necesariamente divergente. Aquí hay una que seguramente lo hace: tomar suficientes positivos $u_n$ para superar $10$ entonces un negativo, luego lo suficientemente positivo para superar $100$ entonces un negativo, ... ¡esto sigue siendo una reordenación perfectamente correcta!