Un notable(?) condición en secuencias de números naturales

Question

Hay una notable condición en el aumento de las secuencias de números naturales $(a_n)_n$: $$\bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_{n+1}}\bigg\rfloor=2a_n-a_{n+1}\tag 1$$ que - al $n$ es lo suficientemente grande como parece sostener durante todo el aumento de las secuencias de $a_n\lesssim p_n$ donde $p_n$ $n$- ésimo primo. Si se mantiene para $a_n=p_n$ depende de la forma más débil de Oppermann de la conjetura: $$(p_{n+1}-p_n)^2<p_{n+1}\tag 2$$ Trivialmente $\;p_n^2=p_{n+1}(2p_n-p_{n+1})+(p_{n+1}-p_n)^2$, ¿por qué $\;(2)\;$ implica $\;(1)\;$$a_n=p_n$.

De hecho, yo no puedo probar mucho de esto y mis reclamos se basan en los cálculos. Ni siquiera puedo probar que $$\bigg\lfloor\frac{n^2}{n+1}\bigg\rfloor=n-1,\;n>0$$ A excepción de las pruebas o contraejemplos de ciertos ejemplos que me gustaría saber si hay algo publicado sobre este tema.

---

Parece que estaba totalmente equivocado acerca de que cada menor secuencias hizo cumplir las condiciones $(1)$.

Answer 1

Vamos a ver lo que tarda su condición de espera:

$$\left\lfloor \frac{a_n^2}{a_{n+1}}\right\rfloor = 2a_n - a_{n+1} \quad \Leftrightarrow \quad 2a_n - a_{n+1} \leq \frac{a_n^2}{a_{n+1}} < 2a_n - a_{n+1} + 1$$

La izquierda de la desigualdad implica $a_n^2 - 2a_na_{n+1} + a_{n+1}^2 = (a_n - a_{n+1})^2 \geq 0$, lo que proporciona ninguna información, pero el de la derecha de la desigualdad es más interesante:

$$(a_n - a_{n+1})^2 < a_{n+1}.$$

Esto implica $a_{n+1} - a_{n} = O(\sqrt{a_n})$.

Tratemos de dar un ejemplo al considerar una secuencia de este sabor y crecer tan rápido como puede ser, entonces, el primero de los términos se verá como sigue ($a_1 = 1$ harán cumplir una constante de la secuencia, así que vamos a $a_1 = 2$):

$$2, 3, 5, 7, 10, 13, 17, 21, 26, 31, 37, 43, 50, 57, 65, \cdots$$

A través de la observación, se puede ver que $a_{2n-1} = n^2 + 1$$a_{2n} = n^2 + n + 1$. En general, las secuencias de la satisfacción de sus condiciones pueden crecer tan rápido como $O(n^2)$.

En particular, el primer número de secuencia $p_n$ crece asintóticamente tan rápido como $O(n\log n)$, por el teorema de los números primos, por lo que de forma heurística se espera que sus condiciones sean satisfechos después de conseguir a través de la suficiente términos.

Comentario: El recíproco no se cumple. La secuencia puede crecer muy lento, mientras que su condición no se cumple. Considerar la sequnce $a_n = 2^{\lfloor\ln\ln n\rfloor}$, a continuación, la secuencia ha asintóticamente logarítmica de crecimiento, pero sus condiciones de falla en los saltos. Si usted necesita un estrictamente creciente secuencia, pensar acerca de la $a_n = n2^{\lfloor\ln\ln\ln n\rfloor}$.