¿Existe una función continua y diferenciable que satisface la ecuación dada

Question

$$\Big(\frac{df}{dx}\Big)^2 < f\frac{d^2 f}{dx^2}$$

Yo soy incapaz de pensar en un ejemplo

Answer 1

Supongamos $f>0$. Entonces $$(\log(f))''=\frac{ff''-(f')^2}{f^2},$$so the condition you ask about is equivalent to saying $\log(f)$ is strictly convex. So $f=e^\phi$ works for any strictly convex $\phi$.

Answer 2

Un ejemplo de esta función de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$f(x)=e^{x^2}$. Luego tenemos la $f'(x)=2xe^{x^2}$$f''(x)=(2+4x^2)e^{x^2}$, por lo que $$f'(x)^2=4x^2e^{2x^2}<(2+4x^2)e^{2x^2}=f(x)f''(x)$$ for all $x\in\mathbb{R}$.