Encuentra el valor del producto de los Cosenos

Question

Búsqueda de $$\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{3\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{9\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{27\pi}{20}\right)$$

Yo: $$\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{3\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\sin \frac{\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}-\sin\frac{3\pi}{20}\right)$$

Así que tenemos $$\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\sin\frac{\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{3\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}-\sin\frac{3\pi}{20}\right)$$

Alguien podría ayudarme a solucionarlo, Gracias de antemano

Answer 1

Deje $\xi=\exp\left(\frac{2\pi i}{40}\right)$. El producto dado es igual a

$$\frac{1}{16}\left(1+\xi+\xi^{-1}\right)\left(1+\xi^3+\xi^{-3}\right)\left(1+\xi^9+\xi^{-9}\right)\left(1+\xi^{27}+\xi^{-27}\right)$$ o $$\frac{1}{16\xi\xi^3\xi^9\xi^{27}}\cdot\frac{\xi^3-1}{\xi-1}\cdot\frac{\xi^9-1}{\xi^3-1}\cdot\frac{\xi^{27}-1}{\xi^9-1}\cdot\frac{\xi^{81}-1}{\xi^{27}-1}$$ o (por la propiedad telescópica y el hecho de que $\xi^{81}=\xi$) $$\frac{1}{16 \xi^{1+3+9+27}}=\frac{1}{16\xi^{40}}=\color{red}{\frac{1}{16}}.$$

Answer 2

Usted puede terminar con él de la siguiente forma: $$\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\sin\frac{\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}+\cos \frac{3\pi}{20}\right)\left(\frac{1}{2}-\sin\frac{3\pi}{20}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{2}+\cos9^{\circ}\right)\left(\frac{1}{2}+\sin9^{\circ}\right)\left(\frac{1}{2}+\cos27^{\circ}\right)\left(\frac{1}{2}-\sin27^{\circ}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\cos9^{\circ}+\sin9^{\circ})+\frac{1}{2}\sin18^{\circ}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\cos27^{\circ}-\sin27^{\circ})-\frac{1}{2}\sin54^{\circ}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\sin81^{\circ}+\sin9^{\circ})+\frac{1}{2}\sin18^{\circ}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\sin63^{\circ}-\sin27^{\circ})-\frac{1}{2}\cos36^{\circ}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{4}+\sin45^{\circ}\cos36^{\circ}+\frac{1}{2}\sin18^{\circ}\right)\left(\frac{1}{4}+\sin18^{\circ}\cos45^{\circ}-\frac{1}{2}\cos36^{\circ}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt5+1}{4\sqrt2}+\frac{\sqrt5-1}{8}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt5-1}{4\sqrt2}-\frac{\sqrt5+1}{8}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{8}+\frac{\sqrt5}{4\sqrt2}+\frac{1}{4\sqrt2}+\frac{\sqrt5}{8}\right)\left(\frac{1}{8}+\frac{\sqrt5}{4\sqrt2}-\frac{1}{4\sqrt2}-\frac{\sqrt5}{8}\right)=$$ $$=\left(\frac{1}{8}+\frac{\sqrt5}{4\sqrt2}\right)^2-\left(\frac{1}{4\sqrt2}+\frac{\sqrt5}{8}\right)^2=$$ $$=\frac{1}{64}+\frac{\sqrt5}{16\sqrt2}+\frac{5}{32}-\frac{5}{64}-\frac{\sqrt5}{16\sqrt2}-\frac{1}{32}=\frac{1}{8}-\frac{1}{16}=\frac{1}{16}.$$

Answer 3

Duresh: para complementar Jack D'Aurizio fantástica respuesta anterior.

Si utiliza la identidad de Euler

$$e^{ix} = cos x + i\cdot sin x$$

y, a continuación, aplicar para $-x$

$$e^{-ix} = cos (-x) + i\cdot sin(-x) = cos x - i\cdot sinx$$

y la suma de ambas ecuaciones, se obtiene la conocida

$$cos x={e^{ix}+e^{-ix}\over2}$$

así

$$\frac12+cos x={1+e^{ix}+e^{-ix}\over2}$$

que es

$$\frac12+cos x={1+e^{ix}+e^{2ix}\over{2e^{ix}}}={1\over{2e^{ix}}}{{e^{3ix}-1}\over{e^{ix}-1}}$$

La sustitución de $3x$, $9x$ y $27x$ y la multiplicación de las 4 ecuaciones, se obtiene de Jack mágico salto :-)

Answer 4

Sugerencia:

El uso de $\cos2x=1-2\sin^2x,$

$$\sin3x=3\sin x-4\sin^3x=\cdots=\sin x(1+2\cos2x)$$

Poner $2x=\dfrac\pi{20},\dfrac{3\pi}{20},\dfrac{9\pi}{20},\dfrac{27\pi}{20}$ uno por uno para reconocer la Telescópico de la naturaleza.

Finalmente, el uso de $\sin(2m\pi+y)=\sin y$ donde $m$ es cualquier entero.

Answer 5

Poner $$f(x)=\left(x+\cos \frac{\pi}{20}\right)\left(x+\cos \frac{3\pi}{20}\right)\left(x+\cos \frac{5\pi}{20}\right)\left(x+\cos \frac{7\pi}{20}\right)\left(x+\cos \frac{9\pi}{20}\right)$$

Entonces usted tiene que encontrar la $f({1\over 2})/({1\over 2}+{\sqrt{2}\over2})$