$\sum z_i^k=0$ todos los $k\ge 2$ implica $z_1=........=z_n=0$?

Question

Vamos,

$z_1, z_2,.....,z_n \in \mathbb C$ tal que

$z_1^k+.......+z_n^k=0$ para todos los enteros $k\geq 2$.

Entonces, ¿cómo demostrar que $z_1=z_2=.....=z_n=0$?

Yo:

Me puse a trabajar para $n=2$ de los casos, mediante el uso de alguna fuerza bruta calulation. es decir, $z_j= r_j e^{i\theta_j}$ y la solución de más.

Pero para mayor $n$ no tengo ninguna idea.

Parece que la inducción argumento trabajo. Cualquier sugerencia?

Answer 1

Con un ligero generalización de cobre.sombrero de solución a

• Qué $\lambda_1^n+ \lambda_2^n+ \dots +\lambda_k^n =0 $ todos los $n$ implica que $\lambda_1= \lambda_2= \dots= \lambda_k = 0 $?

se puede proceder de la siguiente manera:

Deje $p(z) = \sum_{k=0}^N a_k z^k$ ser un polinomio tal que $p(0) = 0$, $ p'(0) = 0$, y $$ p(z_j) = |z_j| \quad \text{para } j = 1, \ldots, n \, . $$

A continuación, $a_0=a_1=0$ y $$ \sum_{j=1}^n |z_j| = \sum_{j=1}^n p(z_j) = \sum_{k=2}^N a_k \sum_{j=1}^n z_j^k = 0 $$ y, por tanto,$z_1 = \ldots = z_n = 0$.

Observación 1: La existencia de un polinomio $p$ puede ser demostrado con un poco modificado Langrange de interpolación: Deje $w_1, \ldots, w_m$ ser el cero valores distintos en $\{ z_1, \ldots, z_n \}$, y $$ L_j(z) = \prod_{\substack{l=1 \\ l \ne j}}^m \frac{z-w_l}{w_j-w_l} \quad (1 \le j \le m) $$ el Idioma correspondiente polinomios. Entonces $$ p(z) = \sum_{j=1}^m |w_j|\frac{z^2}{w_j^2} L_j(z) \, . $$ tiene las propiedades deseadas.

Observación 2: El grado de $p$ es en la mayoría de las $m + 1 \le n+1$. Por lo tanto, es suficiente para exigir que $ z_1^k+ \ldots +z_n^k=0$ $2 \le k \le n+1$.

Answer 2

Aquí es una prueba de si asumimos de fuga para cualquier secuencia consecutiva de $n$ exponentes, $l\leq k <l+n$.

Vamos $w_j$, $j=1, \ldots , t$ ser los valores distintos entre $z_1, \ldots , z_n$ y deje $w_j$ ocurren $m_j>0$ muchas veces.

Luego, tenemos la ecuación de matriz

$$\begin{pmatrix} w_1^l&w_2^l&\cdots &w_t^l\\ w_1^{l+2}&w_2^{l+2}&\cdots &w_t^{l+2}\\ &&\vdots &\\ w_1^{l+t}&w_2^{l+t}&\cdots &w_t^{l+t}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m_1\\ m_2\\ \vdots \\ m_t\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \end{pmatrix}$$

lo que implica que

$$\det \begin{pmatrix} w_1^l&w_2^l&\cdots &w_t^l\\ w_1^{l+2}&w_2^{l+2}&\cdots &w_t^{l+2}\\ &&\vdots &\\ w_1^{l+t}&w_2^{l+t}&\cdots &w_t^{l+t}\\ \end{pmatrix}=\prod\limits_j w_j^l\prod\limits_{i<j} (w_j-w_i)=0$$

Puesto que el $w_j$ son distintos, hay al menos un $j$ tal que $w_j=0$. Por inducción el resultado de la siguiente manera.

Tenga en cuenta que consecutivity de los exponentes $k$ es esencial, ya que si $\zeta_p$ es una primitiva $p$ th raíz de la unidad, a continuación,

$$\sum\limits_{i=0}^{p-1} (\zeta^i)^{pn+l}=0$$ for all $l$ not a multiple of $p$.