La generalización de la convexidad

Question

Esta no es una tarea, esto es algo que vino a mi mente últimamente. Suponga $f$ es suficientemente buena función. Sabemos que $$\frac{df}{dx} \geq 0 \iff f(x_2) \geq f(x_1) \text{ for } x_2 \geq x_1$$ $$\frac{d^2f}{dx^2} \geq 0 \iff \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \geq f(\frac{x_1 + x_2}{2})$$

Es allí cualquier manera agradable a generalizar esto para por mayor de derivados? Una generalización de nonnegativity de las derivadas de orden mayor es el equivalente a un corto agradable condición de la no implicación de los derivados? Si no la generalización, hay al menos una buena extensión de a $\frac{d^3f}{dx^3}$?

Answer 1

Creo que se puede jugar con el Schwarzian derivados (trabajamos en $[0;\infty[$):

Tenemos : $$(Sf)(x)=\frac{f'''(x)}{f'(x)}-1.5(\frac{f''(x)}{f'(x)})^2$$

Aquí se supone que la Schwarzian es positivo : $$\frac{f'''(x)}{f'(x)}\geq1.5(\frac{f''(x)}{f'(x)})^2$$

Podemos reescribir la inequaliy como este : $$\frac{f'''(x)}{f''(x)}\geq1.5(\frac{f''(x)}{f'(x)})$$

Integramos entre el $0$ $x$ tenemos (siempre) :

$$ln(|f''(x)|)\leq 1.5ln(|f'(x)|)$$

Tomamos la exponencial se obtiene :

$$|f''(x)|\geq (|f'(x)|)^{1.5}$$

Podemos reescribir la desigualdad como este :

$$\frac{|f''(x)|}{\sqrt{|f'(x)|}}\geq(|f'(x)|)$$

Integramos da :

$$2\sqrt{|f'(x)|}\geq |f(x)|$$

O $$4|f'(x)|\geq f(x)^2$$

O :

$$\frac{4|f'(x)|}{f(x)^2}\geq 1$$

Ahora suponemos que la derivada es siempre positiva, se obtiene :

$$\frac{4 f'(x)}{f(x)^2}\geq 1$$

O :

$$ 4f'(x)\geq f(x)^2$$

Y esto implica que la convexidad de la función de $f(x)$ si se resuelve la desigualdad (véase el lema de Gronwall)