Demostrar que si dos enteros tienen paridad opuesta, su producto es par

Question

Si dos enteros tienen paridad opuesta, su producto es par.

Método de prueba: Prueba directa

Si dos enteros tienen paridad opuesta, entonces uno es par y el otro es impar.

Supongamos: $a$ es un número entero par y $b$ es un entero impar, entonces por definición de enteros pares e Impares

$$a = 2m, \quad b = 2n+1,$$ mientras que $m$ et $n$ son números enteros.

$$ab = 2m(2n+1)= 4mn+2m = 2(2mn+m)$$ Dejemos que $c = 2mn+m$ sea un número entero, entonces $ab=2c$ es incluso

Por lo tanto, el producto de dos enteros de paridad opuesta es par

Gracias.

Answer 1

Sí, por supuesto, eso es correcto.

También podemos observar que

• si $a\in \mathbb{N}$ es incluso $\implies 2\,|\,a\,$ et $\,\forall b \in \mathbb{N} \quad 2\,|\,ab \implies ab$ es uniforme.

Answer 2

El lema de Euclides afirma que si un número primo $p$ divide el producto $ab$ de dos enteros $a$ et $b$ entonces $p$ debe dividir al menos uno de esos enteros $a$ et $b$ .

Desde $2$ es un número primo, podemos dejar que $p = 2$ . Ahora queremos demostrar que para los enteros $a$ et $b$ que tienen una paridad opuesta, $2$ debe dividir el producto $ab$ .

Cuando dos números tienen una paridad opuesta, entonces uno de esos números es par y el restante es impar. La definición de un número par es tal que el número es divisible por $2$ . Lo contrario es la definición de un número impar. Por eso dejamos que $p = 2$ en primer lugar.

Dado que cualquiera de los dos $a$ o $b$ debe ser par, siendo por tanto el entero restante impar, entonces $2$ debe dividir $a$ o $b$ . Por lo tanto, $2$ también debe dividir $ab$ lo que hace que ese producto sea un número par.

Ir a aquí para una demostración del lema de Euclides.