Mostrar que $\exp: \mathfrak h \to \mathfrak H$ es un bijection.

Question

Deje $\mathfrak H$ ser el grupo de Heisenberg y $\mathfrak h$ su mentira álgebra. Mostrar que $\exp: \mathfrak h \to \mathfrak H$ es un bijection.

Yo estaba tratando de esa manera que $\mathfrak H=\Bigg\{ \begin{pmatrix} 1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}| x,y,z \in \Bbb R\Bigg\}$

entonces $Z(\mathfrak H)=\Bigg\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & z \\ 0 & 1 & o \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}| z \in \Bbb R\Bigg\}$ and $\mathfrak H/(Z(\mathfrak H)) \cong S^1 \times S^1$ which is compact and connented. Moreover $Z(\mathfrak H) \cong \Bbb R$ está conectado. No sé las relaciones topológicas como mucho.

Puedo demostrar que uno hecho de que "Si $G$ ser un conmutativa conectado matriz de Lie de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak g$. A continuación, el mapa exponencial sería surjective. Se trata del hecho de que 'para $G$ relacionada de la matriz de Lie de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak g$; a continuación, para cualquier $X \in \mathfrak G$ $\exists X_1,...,X_r\in \mathfrak g$ s.t $X=e^{X_1}..e^{X_r}$.

Ahora si alguien quiere consultar cualquier teorema o algo para probarlo por favor, dame alguna referencia o de demostrarlo en la respuesta. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

En este caso, la exponencial mapa es sólo el mapa $$\begin{bmatrix}0&x&z\\0&0&y\\0&0&0\end{bmatrix}\mapsto\begin{bmatrix}1&x&z+\frac12xy\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}$$ and it is quite easy to prove that this map is a bijection from $\mathfrak h$ onto $\mathfrak H$.