$Var[w]=O(\log\log(N))$ donde $w(n)$ es el número de primos divisores de $n$

Question

Yo estaba viendo la pregunta Aquí

Por lo tanto, tengo una duda, en la última línea de la pregunta en particular. Deje que me marco en la misma forma del lobo lo ha hecho, el objetivo principal es demostrar la misma cosa de Marius Overholt:

$Var[w]=O(\log\log(N))$ donde $w(n)$ es el número de primos divisores de $n$.

No estoy atascado en el punto de

$N(\log\log(N))^2-N\sum_{p \leq \sqrt N} \frac 1{p}\sum_{n/p <q \leq N} \frac 1{q}-N\sum_{ \sqrt N < p \leq N} \frac 1{p}\sum_{n/p <q \leq N} \frac 1{q}+O(N\log\log(N))=^?N(\log\log(N))^2+O(N\log\log(N))$

Déjeme decirle al lector una cosa que aquí hemos demostrado que el resultado de antemano que $\sum_{p \leq N}\frac 1p=\log\log(N)+a+O\big(\frac 1{\log(N)}\big)$ donde $a$ es una constante fija.

Answer 1

Esto es una consecuencia de la Erdos-Kac teorema.

Cito de la wikipedia:

"los estados que si ω(n) es el número de los distintos factores primos de n, entonces, a grandes rasgos, la distribución de probabilidad de ${\displaystyle {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}} $ es la distribución normal estándar. Esta es una extensión de la de Hardy–Ramanujan teorema, el cual establece que el orden normal de la ω(n) log log n con un error típico de tamaño ${\displaystyle {\sqrt {\log \log n}}} . $

Las pruebas están en las referencias aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Kac_theorem