$\sum_{p\leq n}\sum_{q\leq N}\sum_{n\leq N;p|n,q|n}1=^? \sum_{pq \leq N}\big( \frac N{pq}+O(1)\big)+\sum_{p \leq N}\big( \frac N{p}-\frac N{p^2}\big)$

Question

Yo estaba estudiando Marius Overholt 'Un curso en la Teoría Analítica de números'. Allí en la sección de "orden Normal de método". La proposición se va a demostrar que es

$Var[w]=O(loglog(N))$ donde $w(n)$ es el número de primos divisores de $n$.

pf: Tenemos $\sum_{n\leq N}w^2(n)=\sum_{n\leq N}\big(\sum_{p| n}1\big)\big(\sum_{q| n}1\big)=\color{red}{\sum_{p\leq N}\sum_{q\leq N}\sum_{n\leq N;p|n,q|n}1=^? \sum_{pq \leq N}\big( \frac N{pq}+O(1)\big)+\sum_{p \leq N}\big( \frac N{p}-\frac N{p^2}\big)}$

No estoy recibiendo de cómo obtener el rojo forrado de igualdad. Por favor, ayudar.

Answer 1

Dividido en dos casos: $p \neq q$$p = q$.

Si $p \neq q$, $p|N$, $q|N$ dará $\lfloor \frac N{pq}\rfloor = \frac N{pq} + O(1)$ números de satisfacer la condición de $n \leq N$, $p | n$, $q | n$. Mientras $pq \leq N$ obtendrá al menos un número y por lo tanto debe ser incluido en su sumando. Tenga en cuenta que $pq$ $qp$ se contará dos veces si $p \neq q$.

Si $p = q$ cosas son diferentes. Si $p \leq N$ han $\lfloor \frac N{p}\rfloor = \frac N{p} + O(1)$ números de satisfacer la condición de $n \leq N$, $p | n$, $q | n$. Pero el primer sumando esto ya está contado como $\lfloor \frac N{p^2}\rfloor$, por lo que se debe compensar con un $\frac Np - \frac N{p^2}$.