Cómo es la Categoría de la Teoría utilizada para el estudio de las ecuaciones diferenciales?

Question

Yo sé que uno puede utilizar la Categoría de Teoría para formular ecuaciones polinómicas mediante el modelado de soluciones como límites. Por ejemplo, la esfera es el ecualizador de las funciones \begin{equation} s,t:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R},\qquad s(x,y,z):=x^2+y^2+z^2,~t(x,y,z)=1. \label{equalizer} \end{equation} Uno podría entonces averiguar más acerca de la solución mediante la asignación de la ecualizador diagrama en otras categorías. Más generalmente, los conjuntos de soluciones de ecuaciones polinómicas (y, más en general, variedades algebraicas) son un objeto de estudio de la geometría algebraica.

Como las ecuaciones diferenciales son el centro de todas las áreas de la física, supongo que no se han realizado muchos intentos para generalizar estas ideas a la solución de los conjuntos de estos. Sin embargo, yo todavía no tiene una gran cantidad de conocimientos acerca de la geometría algebraica, teoría de topos o sintético de la geometría diferencial. Así que estaría muy agradecido si alguien pudiera explicar aproximadamente el dónde y el cómo de la Categoría de la Teoría se utiliza para el estudio de las ecuaciones diferenciales.

Pueden Categoría de la Teoría de realmente ayudar a resolver ecuaciones diferenciales (por ejemplo, mediante la asignación de los diagramas de ecuaciones para el resto de categorías, de manera similar a cómo los problemas de topología son a menudo resuelto mediante la asignación de espacios topológicos para algebraicas en topología algebraica) o puede "sólo" proporcionar esquemas para la generalización de las ecuaciones diferenciales a otros espacios/categorías?

Estoy particularmente interesado en los nombres de las áreas que tengo que mirar en si quiero entender esto mejor. También la literatura recomendación sería muy bienvenida.


EDIT: he encontrado un libro por Vinogradov llamado Cohomological Análisis de Ecuaciones Diferenciales Parciales y Secundaria de Cálculo donde "el resultado principal [...] es Secundario Cálculo en diffieties".

Sin embargo, el material es muy profundo y por lo tanto todavía no estoy completamente capaz de decir si estos "nuevos objetos geométricos que son análogos de variedades algebraicas" puede ser utilizada para ayudar a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales o si sirven a la estructura de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales o resultado en otras aplicaciones que no soy consciente de. Así de este modo, la información sería muy apreciada!

Answer 1

No es la observación de Marvan Una Nota en la Categoría de ecuaciones en derivadas parciales que el jet paquete de construcción ordinario geometría diferencial tiene la estructura de un Comonad, cuya Eilenberg-Moore categoría de coalgebras es equivalente a Vinogradov categoría de ecuaciones en derivadas parciales.

Este 'sintético' generalización de el jet paquete de construcción exhibe como el cambio de base de un comonad a lo largo de la unidad de la "infinitesimal forma" functor, que puede ser demostrado ser el diferencial geométricas analógico de Simpson "de Rham forma de operación en la geometría algebraica.

Editar En respuesta a @Intercambio de la solicitud de la evolución más reciente, el trabajo por Khavkine y Schreiber viene a la mente, en un similar vien a la labor realizada por los autores anteriores.

Ellos fueron capaces de ampliar el trabajo de Marvan,y presentar una teoría formal de ecuaciones en derivadas parciales en el Sintético de la Geometría Diferencial. El uso de Topos teoría Khavkine y Screiber exhinit un syntheitc generalización de el jet paquete de construcción. En virtud de esta generalización de la auithors demostrar que esto es siempre equivalente a la Eilenberg-Moore categoría sobre el sintético del jet comonad.

Se expanden en este resultado, mostrando que cada vez que la unidad de la "infinitesimal forma" $\scr{S}$ operación es epimorphic la categoría de formalmente integrable ecuaciones en derivadas parciales con variables independientes que van en algunos $\Sigma$ también es equivalente simplemente para el sector de la categoría de más de $\scr{S} \Sigma$. Esto produce, en particular, una conveniente presentación de las categorías de ecuaciones en derivadas parciales en general contextos.

Para una información más completa de la cuenta, consulte el documento a partir de 2017

Déjeme saber si usted necesita más información,

Mejor

Kevin

Answer 2

Me di cuenta de que derivado de las categorías y de las técnicas del álgebra homológica puede ayudar a resolver ecuaciones diferenciales. Este es un gran tema llamado algebraicas análisis que el uso de las herramientas de $D$-módulos y la gavilla de la teoría. Ver este Mathoverflow pregunta, este otro MO pregunta (primera respuesta) y este libro en D-módulos que utilizan fuertemente la lengua de la categoría. También, Borel y Coutinho cada uno escribió un libro, usted podría ser capaz de encontrar algo más de información al respecto.

Answer 3

En otra dirección, se puede utilizar ecuaciones diferenciales para resolver una categoría de problema.

Si uno quiere deformar-cuantización de Poisson-Mentira grupo, un paso crucial es deformar un infinitesimalmente trenzado de categoría monoidal en un trenzado de categoría monoidal, y esto se reduce a encontrar un Drinfeld asociador, que es una potencia de la serie en dos (no de trabajo) variables $X,Y$ verificar algunas condiciones no voy a escribir aquí.

Resulta que uno puede genera un asociador de la solución de la ecuación de $\frac{d \psi}{dz} = \psi \cdot \alpha$ donde $\alpha = \sum_{a,b} d(log(z_a - z_b))t_{a,b} \in H^1(X_A, \mathbb R) \otimes \mathfrak t_A$ donde $X_A$ es el espacio de configuración de $A$ ($A$ es un conjunto finito) puntos en $\mathbb C$, e $\mathfrak t_A$ es el Drinfeld-Khono Mentira álgebra.

Esto es muy vasto dominio, un buen comienzo debe ser este ncatlab enlace de la definición de la Drinfeld-Khono Mentira álgebra y, a continuación, la navegación debe dar una buena visión de conjunto. También hay buenos artículos sobre los temas, pero por desgracia no sé muy completo de la encuesta, así que mejor puede recoger de diversas fuentes. Un corto pero agradable surey se da en estas diapositivas. Finalmente, una buena referencia es también el final del libro por Kassel, consulte los capítulos "los grupos cuánticos y monodromy".