Yo sé que uno puede utilizar la Categoría de Teoría para formular ecuaciones polinómicas mediante el modelado de soluciones como límites. Por ejemplo, la esfera es el ecualizador de las funciones \begin{equation} s,t:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R},\qquad s(x,y,z):=x^2+y^2+z^2,~t(x,y,z)=1. \label{equalizer} \end{equation} Uno podría entonces averiguar más acerca de la solución mediante la asignación de la ecualizador diagrama en otras categorías. Más generalmente, los conjuntos de soluciones de ecuaciones polinómicas (y, más en general, variedades algebraicas) son un objeto de estudio de la geometría algebraica.
Como las ecuaciones diferenciales son el centro de todas las áreas de la física, supongo que no se han realizado muchos intentos para generalizar estas ideas a la solución de los conjuntos de estos. Sin embargo, yo todavía no tiene una gran cantidad de conocimientos acerca de la geometría algebraica, teoría de topos o sintético de la geometría diferencial. Así que estaría muy agradecido si alguien pudiera explicar aproximadamente el dónde y el cómo de la Categoría de la Teoría se utiliza para el estudio de las ecuaciones diferenciales.
Pueden Categoría de la Teoría de realmente ayudar a resolver ecuaciones diferenciales (por ejemplo, mediante la asignación de los diagramas de ecuaciones para el resto de categorías, de manera similar a cómo los problemas de topología son a menudo resuelto mediante la asignación de espacios topológicos para algebraicas en topología algebraica) o puede "sólo" proporcionar esquemas para la generalización de las ecuaciones diferenciales a otros espacios/categorías?
Estoy particularmente interesado en los nombres de las áreas que tengo que mirar en si quiero entender esto mejor. También la literatura recomendación sería muy bienvenida.
EDIT: he encontrado un libro por Vinogradov llamado Cohomological Análisis de Ecuaciones Diferenciales Parciales y Secundaria de Cálculo donde "el resultado principal [...] es Secundario Cálculo en diffieties".
Sin embargo, el material es muy profundo y por lo tanto todavía no estoy completamente capaz de decir si estos "nuevos objetos geométricos que son análogos de variedades algebraicas" puede ser utilizada para ayudar a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales o si sirven a la estructura de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales o resultado en otras aplicaciones que no soy consciente de. Así de este modo, la información sería muy apreciada!