Una propiedad acerca de las matrices, precisamente, con tres autovalores

Question

Supongamos $A$ es simétrica la matriz cuyas entradas son de $\{0,1\}$ y supongamos, además, que todos los vectores $\vec{1}$ es un autovector de a $A$ para el autovalor $k.$ además supongamos que $A$ tiene exactamente dos autovalores $\lambda \ne \mu.$ En algunas de las notas que estoy leyendo es decir que si $v$ es un vector ortogonal a $\vec{1}$ $$(A-\lambda I)(A-\mu I) \cdot v = 0.$$

Tengo un poco de problemas para entender por qué esto es verdad? Alguien puede dar una prueba/breve explicación?

Answer 1

$A$ es simétrica, por lo tanto tenemos una descomposición

$$V = \operatorname{ker}(A-kI) \oplus \operatorname{ker}(A-\lambda I) \oplus \operatorname{ker}(A-\mu I)$$

con la suma no sólo directa, sino también ortogonales. Por lo tanto, cualquier vector ortogonal a $\vec 1$ está contenido en $\operatorname{ker}(A-\lambda I) \oplus \operatorname{ker}(A-\mu I)$ y por supuesto, tenemos

$$(A-\lambda I)(A-\mu I)(\operatorname{ker}(A-\lambda I) \oplus \operatorname{ker}(A-\mu I))=0.$$