¿Este límite existe?
$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{(i=1)}^n (-1)^{i-1} \frac{1}{i} $$
También, hay un nombre para esta suma?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta serie se refiere a veces como la serie armónica alternante. (Una corriente alterna de la serie es una serie con la alternancia no negativo y valor no positivo de términos.)
La convergencia de esta serie se desprende directamente de la alternancia de serie de la prueba o la de Leibniz de la prueba, de que esta serie da un ejemplo de libro de texto ideal.
La alternancia de serie de la prueba. Supongamos que la secuencia de $\lbrace a_n \rbrace_{n \geq 1}$ es monótonamente decreciente y converge a $0$. A continuación, la alternancia de la serie $\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ converge.
Por otro lado, es no absolutamente convergente, ya que la serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ famosamente se bifurca de nuevo y de nuevo. (Ver también esta pregunta: 255.)
Resulta que también sabemos que la suma exacta de la serie. La función logarítmica tiene la expansión de Taylor: $$ \ln (1+x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \ \ \ \ (-1 \lt x \lt 1), $$ con un radio de convergencia $1$. Desde $1$ es el punto final del intervalo de convergencia, no es inmediatamente claro que uno puede enchufar $1$ en la anterior serie. Sin embargo, Abel del teorema para la alimentación de la serie, de hecho, garantiza que $$ \lim_{x \to 1-} \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}. $$ Así, la serie se evalúa a $\ln 2 \approx 0.693\ldots$.
Esta respuesta es en su mayoría una elaboración de Qiaochu Yuan y J. M. comentarios. Gracias a Robert Israel para señalar la necesidad de Abel del teorema.
