Ejemplo de relación reflexiva pero no simétrica

Question

Por definición, $R$ una relación en un conjunto X, es reflexiva si y sólo si $\forall x\in X$ , $x\,R\,x$ y $R$ es simétrica si y sólo si $x\,R\,y\implies y\,R\,x$ .

Creo que $x\,R\,x$ también puede ser simétrico cuando leo la definición, pero también siento que hay algo equivocado o que falta en mi comprensión.

¿Puede dar un ejemplo de una relación que sea reflexiva pero no simétrica?

Answer 1

Es importante recordar los cuantificadores. $R$ es simétrico si y sólo si $x R y \Rightarrow yRx$ para todos $x,y$ . Ciertamente $x Rx \Rightarrow x R x$ pero esto no significa que $R$ es simétrica.

Un ejemplo de relación reflexiva pero no simétrica es $\leq$ . Para todos los $x$ , $x \leq x$ . Sin embargo, $x \leq y$ no implica $y \leq x$ - por ejemplo, $1 \leq 2$ pero no es el caso que $2 \leq 1$ .

Answer 2

"Sabe el nombre de" es reflexivo pero no simétrico.

Todo el mundo sabe su propio nombre.

$a \space R \space a$ y $b \space R \space b$

Alan sabe el nombre de Bob:

$a \space R \space b$

Bob no sabe el nombre de Alan, es olvidadizo.

$Not$ $b \space {R} \space a$

Answer 3

Una relación es simétrica si $xRy \implies yRx$ para todos $x,y$ .

Siempre sabes que $xRx \implies xRx$ porque no es posible que $xRx$ es verdadera y $xRx$ es falso al mismo tiempo. Esto es así independientemente de que $R$ es reflexivo o no.

Hay muchos ejemplos:

• Todos los ordenamientos en conjuntos con más de un elemento, en particular $\leq$ en $\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R$ .
• $x \mid y$ Es decir, $x$ divide $y$ , en $\mathbb N, \mathbb Z$ .

Answer 4

En algún lugar hay una lista que muestra que las relaciones pueden ser cualquier combinación de reflexivas, simétricas y transitivas (a pesar de la famosa prueba falsa de que simétrico + transitivo -> reflexivo). -  barrycarter Hace 3 horas

Bueno, no pude encontrar uno para enlazar en unos minutos, así que permítanme proporcionar uno aquí.

En el conjunto de tres elementos $\{a, b, c\}$ las siguientes relaciones son:

• Transitivo, simétrico: $R_0 = \emptyset$
• Transitivo, no simétrico: $R_1 = \{(a,b)\}$
• No es transitivo, no es simétrico: $R_2 = \{(a,b), (b,c)\}$
• No es transitivo, es simétrico: $R_3 = \{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b)\}$

Ninguna de las relaciones anteriores es reflexiva, pero todas pueden convertirse en relaciones reflexivas, sin afectar a su transitividad o simetría, añadiendo $R^* = \{(a,a), (b,b), (c,c)\}$ a ellos.

(En particular, $R_1 \cup R^* = \{(a,a), (a,b), (b,b), (c,c)\}$ es una relación reflexiva y no simétrica sobre el conjunto $\{a, b, c\}$ . Por supuesto, la restricción de esta relación al subconjunto de dos elementos $\{a, b\}$ da un ejemplo aún más sencillo).

Answer 5

Los ejemplos no son tan convincentes porque las condiciones son tan fáciles de cumplir que el caso general se puede construir directamente. Los que se basan en $\geq$ u otros ordenamientos (parciales) para crear asimetría son engañosos porque son transitivos, una fuerte condición extra que no es típica de las relaciones asimétricas reflexivas.

Construcción general: tome cualquier relación asimétrica y añada todas las $xRx$ relaciones necesarias para hacerla reflexiva. Cualquier relación asimétrica reflexiva tiene esa forma.

La imagen es de cualquier grafo dirigido, que tiene un bucle en cada vértice. Para ver ejemplos, dibuja cualquier grafo dirigido y pon un bucle en cada vértice.

"Ha visto" o "ha telefoneado a la casa de" son ejemplos cotidianos.