¿Cuáles son las simetrías del tetraedro?

Question

Supongo que me gusta la combinatoria, y quiere contar cuántas maneras para pintar las caras de un tetraedro utilizando una paleta de $x$ colores.

No quiero más de recuento de casos donde sólo podía girar uno pintado tetraedro se parezca a otro. Así que mi idea es que se podía encontrar todo el ciclo de descomposición de los elementos en el grupo de simetrías del tetraedro, la pintura de cada ciclo de cualquiera de las $x$ colores, agregar de todos ellos, y se dividen por el número de elementos en el grupo, para contar a las distintas formas de pintar, ¿correcto?

Así que mi pregunta se reduce como, ¿qué es el grupo de simetrías del tetraedro? Yo sería feliz sólo para conocer los elementos en términos de rotaciones y gira en torno a los ejes, y probablemente podría averiguar el ciclo de descomposición de allí.

Answer 1

Creo que eres de complicar las cosas. Un color (normal): tetraedro es quiral si y sólo si todos los cuatro caras tienen diferentes colores. Por lo tanto cada una de las $\binom x4$ combinaciones de $4$ diferentes colores conduce a $2$ de distinguir las coloraciones, y el $\binom xk$ combinaciones de $k<4$ colores cada conducir a $\binom3{k-1}$ distinguible de colorantes (uno para cada forma de particionamiento $4$ a de la $k$ colores), por lo que el número total es de

$$2\binom x4+3\binom x3+3\binom x2+x\;.$$

Answer 2

Hacemos la reflexión simetrías contar para usted, o usted es la restricción de su interés a las rotaciones?

Si los reflejos son permitidos, entonces usted puede darse cuenta de cualquier permutación de las caras que desee, por lo tanto el grupo de simetría es el grupo simétrico $S_4$. De lo contrario, la mitad de estas permutaciones están prohibidas, y el grupo de simetría es la alternancia de grupo $A_4$.

En términos de pintura lados, lo que esto significa es que cualquier conjunto de 4 colores diferentes puede ser utilizado en exactamente dos caminos (uno si usted permite que reflexiones). Establece que al menos una de color aparece más de una vez puede ser utilizado solamente de una manera.

Answer 3

Como este post se pregunta por el grupo $G$ de las simetrías de las caras del tetraedro para su uso con el Polya Enumeración Teorema (PET) y de este grupo es bastante pequeño, podemos hacer el cálculo a mano y calcular el índice de ciclo.

Enumerar los elementos de $G$ a su vez y la lista de sus contribuciones para el ciclo de índice, donde consideramos rígidos movimientos decir, no hay reflexiones. No es la identidad, lo que contribuye $$a_1^4.$$ There are two rotations about an axis passing through the center of a face and the opposite vertex and there are four such axes, giving the contribution $$4\times 2 a_1 a_3^.$$ Finally there are three rotations about the centers of two opposite edges by 180 degrees, giving $$3\times a_2^2.$$

Esto da para el ciclo de índice que $$Z(G) = \frac{1}{12}\left(a_1^4 + 8 a_1 a_3 + 3 a_2^2\right).$$ Ahora con $X$ colores obtenemos que $A$Z(G)(C_1+C_2+\cdots+C_X)_{C_1=1, C_2=1, \ldots C_X=1} = \frac{1}{12} (X^4+ 8 X^2 + 3 X^2) = \frac{1}{12} (X^4+ 11 X^2).$$

Esto coincide con la respuesta por Joriki y se produce la secuencia de $$1, 5, 15, 36, 75, 141, 245, 400, 621, 925,\ldots$$ y uno puede ser sorprendido al encontrar que esta secuencia es lo suficientemente importante como para aparecer como OEIS A006008.

Aquí están algunos de los más MASCOTAS cálculos en este MSE enlace.