¿Por qué esta construcción de las clases de Chern no se generaliza a los haces reales?

Question

¿Podemos imitar la construcción de las clases de Chern utilizando reales o o cuaterniónicos? Si es así, ¿obtenemos algo interesante?

Mi pregunta se refiere a la construcción de las clases de Chern en Bott y Tu Formas diferenciales en la topografía algebraica . Para los que no tengan el libro, permítanme primero un breve esbozo. Creo que siguen el artículo de Grothendieck de 1958 sobre las clases de Chern.

En primer lugar, definimos la clase de Euler para un haz real de rango 2. Fijemos un haz de este tipo $\pi: E \rightarrow M$ y ponerle una métrica hermitiana. Dada una trivialización $\psi_\alpha$ del haz, esto nos permite hablar de coordenadas radiales $r_\alpha$ y coordenadas angulares $\theta_\alpha$ en las fibras. En los solapamientos $U_\alpha\cap U_\beta$ podemos medir la diferencia de los ángulos $\theta_\alpha$ y $\theta_\beta$ mediante una función $\phi_{\alpha\beta}$ (definido hasta múltiplos de $2\pi$ ). Podemos entonces encontrar formas $\xi_\alpha$ en $U_\alpha$ tal que $$\frac{1}{2\pi} d\phi_{\alpha\beta} = \xi_\alpha - \xi_\beta,$$ y se puede demostrar que el $d\xi_\gamma$ formas coinciden en los solapamientos y forman un global cerrado $2$ -que da una clase de cohomología en $H^2(M)$ . Esta es la clase Euler. Las clases de Chern se definen entonces tomando la proyectivización $P(E)$ de $E$ y hacer algunas cosas inteligentes con la secuencia exacta $$0\rightarrow S \rightarrow \pi^*E \rightarrow Q \rightarrow 0$$ en $P(E)$ , donde $S$ es el subfondo universal, y utilizando el hecho de que para un haz de líneas complejo, su clase de Euler y $c_1$ se definen como iguales.

Así, en resumen, el proceso consiste en definir $c_1$ para un conjunto de líneas directamente y luego se eleva a un nivel superior $c_i$ en un paquete general.

Mi pregunta es, ¿funciona la construcción análoga para haces reales, y si es así, obtenemos algo interesante? Dado un haz de líneas reales $E$ podemos definir su clase de Euler directamente (Bott y Tu esbozan la construcción para el rango $n$ en las secciones 11 y 12), y luego, presumiblemente, aplicar el mismo tipo de procedimiento de bootstrapping.

No estoy muy familiarizado con este material, pero veo inmediatamente al menos dos problemas. En primer lugar, la clase de Euler de un haz de líneas parece un poco absurda. En lugar de una coordenada angular, ahora sólo tenemos $\pm 1$ . (Para un haz de rango dos, en realidad estamos viendo el correspondiente $S^1$ por lo que para un rango $1$ paquete que estamos viendo $S^0$ .) En segundo lugar, la construcción de Bott y Tu utiliza el hecho de que la cohomología de Rham del espacio proyectivo complejo es un anillo polinómico. Pero para $\mathbb RP^n$ la mayoría de los grupos de cohomología integral son de torsión, así que la cohomología de Rham va a ser muy aburrida. Pero tal vez esto pueda evitarse utilizando la cohomología con coeficientes enteros en lugar de la cohomología de Rham. (Parece que Bott y Tu sólo necesitan el teorema de Leray para hacer la construcción, y creo que hay una versión más general de eso para la cohomología con coeficientes enteros, pero tendría que volver a comprobarlo). Otra idea es cambiar a la cohomología mod 2, donde el anillo de cohomología de $\mathbb R P^n$ es agradable de nuevo. También me interesaría una respuesta para el caso del haz cuaterniónico, pero no he pensado en ello en absoluto.

En resumen, la construcción del haz proyectivo parece una receta general para cocinar clases características. ¿Lo es? Si no es así, ¿qué tienen de especial las clases de Chern para que sólo funcione con ellas?

Answer 1

La respuesta corta es que si se intenta esta construcción grothendieckiana para haces reales y se utilizan coeficientes mod 2 (para que el anillo de cohomología de $\mathbb RP^n$ agradable) se obtienen las clases de Stiefel-Whitney. Ver la primera sección de estas notas para más detalles.

El uso de la clase de Euler en la construcción de Bott y Tu es una especie de pista falsa en términos de la generalización real y está motivada por el hecho de que sabemos de antemano (o más bien, Grothendieck sabía, a partir del estudio previo de estas clases) que la clase de Chern superior debe ser la clase de Euler, por lo que la primera clase de Chern de un haz de líneas debe ser su clase de Euler. Esto permite la presentación ad hoc de Bott y el uso de Tu. En el archivo vinculado, simplemente se retira de $\mathbb RP^\infty$ para tratar el caso de los haces de líneas, que es menos excitante (porque imita el método estándar de construir clases características sacando clases de cohomología de los Grassmanianos) pero tiene la ventaja de ser correcto.