$ \mathbb R$ no es isométrico con $ \mathbb R^2$

Question

mostrar que $ \mathbb R$ no es isométrico con $ \mathbb R^2$ (con las métricas habituales). Quiero utilizar la primera definición de continuidad (es decir, la $ \epsilon $ - $ \delta $ cosas) pero no veo la forma de proceder. ¿Supongo que el contrapositivo? Gracias

Answer 1

En $R$ no existen tres puntos distintos de tal manera que la distancia entre cada par sea igual a $1$ .

Por otro lado, en $R^2$ existen triángulos equiláteros.

Answer 2

Una isometría entre $ \mathbb R$ y $ \mathbb R^2$ implicaría una contradicción. Considere que un punto cualquiera separa $ \mathbb R$ pero no se separa/desconecta $ \mathbb R^2$ . Si h: $ \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2$ eran un homeomorfismo entre los dos, entonces, para cualquier $x$ en $ \mathbb R$ , h': $ \mathbb R-{x} \rightarrow \mathbb R^2-h(x)$ también sería un homeomorfismo. Pero esto no es posible, ya que $ \mathbb R-{x}$ está desconectado, pero $ \mathbb R^2-h(x)$ no lo es.

Tal vez para ser más precisos, si hubiera una bijección continua h (una isometría) entre $ \mathbb R$ y $ \mathbb R^2$ entonces se produciría la siguiente contradicción:

Considere la restricción h' de h a $[-1,1]$ . Por la compactación de [-1,1], y por $ \mathbb R^2$ siendo Hausdorff (de modo que su subespacio h'([-1,1]) es Hausdorff ), tenemos una bijección continua entre compacto y Hausdorff, de modo que $h'([-1,1]) \rightarrow h'([-1,1])$ es un homeomorfismo. Por la conectividad de [-1,1] y ya que h' es inyectiva (y h es una bijección continua en $ \mathbb R^2$ ), la imagen contiene una bola abierta. Ahora bien, como la "h" es un homeomorfismo, envía su interior (-1,1) al interior de la imagen, que está conectada, pero tenemos el problema de los cortes.

Answer 3

Para un argumento general, se puede decir que la dimensión Hausdorff es una invariante isométrica y que $ \dim_H ( \mathbb {R}^n)=n$ . Por lo tanto, $ \mathbb {R}^n$ y $ \mathbb {R}^m$ son isométricos iff $m=n$ .

(Por supuesto, aquí la respuesta de Mariano Suárez-Alvarez es realmente mejor.)