Demostrar $\lim_{x \to 0}\frac{f(3x)}{\ln(1+4x)} = 2.25$ saber que $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = 3$

Question

$f$ se define en el barrio de $x=0$, $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = 3$. Necesito demostrar que $\lim_{x \to 0}\frac{f(3x)}{\ln(1+4x)} = 2.25$.
Estoy un poco atascado. Yo estaba pensando:
Si defino $t = 4x$$\lim_{x \to 0}\frac{f(3x)}{\ln(1+4x)} = \lim_{t \to 0}\frac{\frac{f(3 \cdot \frac{t}{4})}{t}}{\frac{\ln(1+t)}{t}}$, y sé que $\lim_{t \to 0}\frac{ln(1+t)}{t} = 1$
pero todavía estoy atascado con $\lim_{t \to 0}\frac{f(3 \cdot \frac{t}{4})}{t}$...

Ayuda?

Answer 1

Sugerencia

$$\frac{f(3x)}{\ln(1+4x)}=\frac 34 \times\frac{f(3x)}{3x}\times\frac{4x}{\ln(1+4x)}$$

Estoy seguro de que usted puede tomar a partir de aquí.

Answer 2

Para continuar a partir de la última ecuación, se podría utilizar por ejemplo:

$$ \frac{f(3\frac{t}{4})}{t} = \frac{\frac{3}{4} f(\frac{3}{4}t)}{\frac{3}{4}t} = \frac{3}{4} \cdot \frac{f(\frac{3}{4}t)}{\frac{3}{4}t}. $$

Y el uso de teoremas límite para compuestos de funciones después de eso.