Cuántas bolsas se necesitan para ser comprado para tener toda la nariz roja?

Question

Hay 9 tipos de Narices Rojas, para el alivio cómico de este año:

Cada uno se vende en un paquete opaco, por lo que es lucky dip que uno va a obtener.

Suponiendo que no hay la misma cantidad de cada tipo (${1\over9}$^th). En promedio, ¿cuántas bolsas se necesitan para ser comprado por alguien para conseguir todos los 9 de ellos?

Answer 1

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Voy a asumir que hay, efectivamente, infinito bolsas de narices-si sólo tuviéramos 9 bolsas de... bueno, ustedes me entienden. ;)

Dicen que tenemos $n-1$ de la $9$ único narices. La probabilidad de conseguir un nuevo estilo de la nariz en el siguiente bolso es $p_n = 1 - \frac{n-1}{9}$. Entonces, en promedio, se tarda $\frac{1}{p_n}$ bolsas para obtener el siguiente singular nariz. (es decir, - Digamos que tenemos $0$ único narices. A continuación, $n = 1$ $p_n = 1 - \frac{0}{1} = 1$ y que tendrá sólo un bolso para obtener una nueva nariz. Del mismo modo, si tenemos $4$ nariz-estilos, $n = 5$ y tomará $1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{5}$ bolsas de obtener un $5^{\text{th}}$ nariz.)

Las probabilidades de aquí son independientes. Es decir, la posibilidad de obtener el $5^{\text{th}}$ nueva nariz en la siguiente bolsa no depende de la probabilidad de contraer la $4^{\text{th}}$ (una vez tienes el $4^{\text{th}}$ nariz, la probabilidad de obtener el $5^{\text{th}}$ siempre va a ser $\frac{1}{p_5}$). Por lo tanto, podemos simplemente sumar el promedio de cada una de las $p_n$ hasta $n = 9$.

Así, tenemos: $$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \frac{1}{p_3} + \frac{1}{p_4} + \frac{1}{p_5} + \frac{1}{p_6} + \frac{1}{p_7} + \frac{1}{p_8} + \frac{1}{p_9} + = \\ 1 + \frac{9}{8} + \frac{9}{7} + \frac{9}{6} + \frac{9}{5} + \frac{9}{4} + \frac{9}{3} + \frac{9}{2} + \frac{9}{1} = \\ 9 \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n} = \frac{9 \times 7129}{2520} = 25.46$$

Que es, en promedio, tomaría alrededor de 25 bolsas para conseguir todos los nueve narices.

Answer 2

El truco para este problema es que el primer par de bolsas casi seguro que son en su mayoría de diferentes narices.

Con absoluta certeza, sólo tiene que comprar una bolsa para tener un tipo de nariz en su colección. Para recoger dos tipos de narices, usted necesita para comprar al menos dos bolsas, pero hay una probabilidad de $\frac89$ que usted sólo necesita comprar dos bolsas. El número esperado de las bolsas que usted tiene que comprar con el fin de adquirir el segundo tipo de la nariz, después de que usted ya tiene un tipo de nariz, es $\frac98$.

El número esperado de las bolsas que usted tiene que comprar para obtener el siguiente tipo de nariz sólo llega a ser más de $2$ cuando ya se tiene la mayoría de las narices. Cuando llegue a $7$ tipos de nariz, tiene un $\frac29$ de probabilidad de obtener un nuevo tipo de la nariz con cada bolsa de comprar, por lo que el número esperado de bolsas para llegar desde $7$ tipos de nariz a $8$ tipos de nariz es $4.5$. Después de que el número esperado de bolsas necesarias para encontrar el último tipo de nariz es $9$ bolsas.

Sume $1 + \frac98 + \frac97 + \frac96 + \frac95 + \frac94 + \frac93 + \frac92 + 9$ y ver lo que se obtiene.