Pruebe $ \ell_1 $ es la primera categoría en $ \ell_2 $

Question

Demuestra que $ \ell_1 $ es la primera categoría en $ \ell_2 $ .

Traté de resolver esto, pero no tenía idea del enfoque. Cualquier sugerencia es útil. Gracias de antemano.

Answer 1

Escribe $F_n:=\{x\in \ell^2,\sum_{j=1}^{+\infty}|x_j|\leq n\}$ . Entonces $\ell^1=\bigcup_{n\geq 1}F_n$ . $F_n$ está cerrado en $\ell^2$ , como si $\{x^{(k)}\}$ es una secuencia que se encuentra en $F_n$ y converge a $x$ en $\ell^2$ tenemos para un número entero $N$ que $$\sum_{j=1}^N|x_j|\leq\lim_{k\to\infty}\sum_{j=0}^N|x_j^{(k)}|\leq n,$$ que da $x\in F_n$ .

$F_n$ tiene un interior vacío en $\ell^2$ . En caso contrario, si $B_{\ell^2}(x,r)\subset F_n$ , entonces para cada $y\in \ell²$ Tendríamos $\frac{r}{2\lVert y\rVert_2}y+x\in F_n$ Por lo tanto $\frac{r}{2\lVert y\rVert_2}y\in F_{2n}$ . Esto hace que $\lVert y\rVert_1\leq C\lVert y\rVert_2$ para una constante universal $C$ , lo cual no es posible.