Es cierto que si $X$ $Y$ son conjuntos y hay un bijection entre el$\mathcal{P}(X)$$\mathcal{P}(Y)$, entonces hay un bijection de$X$$Y$?. Yo creo que esto debería ser obvio, pero no puedo ver por qué esto es así. Una prueba o un contraejemplo sería muy apreciada.
Gracias.
Esto no puede ser demostrado a partir de los axiomas de $\sf ZFC$ (y ciertamente no de la ingenua teoría de conjuntos), pero no puede ser refutado.
Es decir, suponiendo que los axiomas de la teoría de conjuntos (leer: $\sf ZFC$) son consistentes, hay modelos de la teoría de conjuntos en la que $2^X\sim 2^Y\implies X\sim Y$, y hay otros modelos en los que hay $X\nsim Y$ tal que $2^X\sim 2^Y$.
Por ejemplo, si $\sf GCH$ sostiene entonces que la afirmación es verdadera, ya que el juego de poder es "tan pequeño como sea posible", pero que es coherente que hay un innumerable conjunto de los números reales, cuyo poder establecer es equipotente con los números reales, es decir, $X$ tal que $\Bbb N<X$ pero $2^X\sim 2^\Bbb N$.
La declaración es más débil de lo $\sf GCH$, y en relación con el (pero no relacionado) publicar en MathOverflow que yo he llamado "Inyectiva Continuidad de la Función", el ICF. He visto mencionar que este fue llamado por Tarski "Poder Débil Hipótesis", WPH.
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