¿Cómo se puede resolver un $n$-ésimo orden del sistema de ecuaciones diferenciales.
Yo sé cómo resolver el problema de primer orden ecuaciones como $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ pero, ¿cómo puedo solucionar $$\mathbf x^{(n)}=A\mathbf x$$ Podría tal vez me muestran cómo se hace o un enlace a algunas fuentes donde puedo mirar esto. He mirado en el de Pablo, notas, Métodos Matemáticos para Physicsists y los Ingenieros y Wikipedia , pero parece que todo se centra en primer orden las ecuaciones.
Edit: Winther demostrado un procedimiento estándar de reducción de n-ésimo orden que los sistemas de primer orden en los sistemas en los comentarios. Estoy buscando fuentes que explicar esto en detalle.
Respuesta
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Dado un $n$'th fin de la educación a distancia
$${\bf y}^{(n)} = A{\bf y}$$
donde ${\bf y}$ es un vector en $\mathbb{R}^k$ a continuación, se puede reducir el orden de la ecuación mediante la introducción de variables auxiliares ${\bf y_i} = {\bf y}^{(i-1)}$$i=1,2,3,\ldots,n$. Con estas variables de la educación a distancia puede ser escrito
$$\matriz{{\bf y_n}' & = & {\bf y_1}\\ {\bf y_{n-1}}' &=& {\bf y_n}\\ &\ldots&\\ {\bf y_{1}}' &=& {\bf y_2}}$$
que es un sistema cerrado de acoplados de primer orden ecuaciones. El precio a pagar por esta reducción en el orden de la $k$ ecuaciones empezamos con se han convertido en $nk$ ecuaciones.
Este sistema también puede ser escrita en forma matricial ${\bf Y'} = B{\bf Y}$ por trabajar con el vector
$${\bf Y} = \pmatrix{({\bf y_1})^1\\\ldots\\({\bf y_i})^j\\\ldots\\({\bf y_n})^k}$$
La matriz $B$ contendrá $A$ en la esquina inferior izquierda y el resto de los componentes se $0$ a excepción de$B_{j,k+j} = 1$$j=1,2,\ldots,(n-1)k$.
La formulación general del método es un poco desordenado con una gran cantidad de los vectores y de los componentes, pero no es muy complicado en la práctica. Como siempre que se recuerde que el método main aquí, a continuación, usted será capaz de utilizarlo para cualquier ecuación de interés (no quiero molestar a recordar la fórmula general para $B$ sólo se centran en recordar los pasos necesarios para reducir a la forma).
Para mostrar una aplicación que podemos intentar aplicar este método para su sistema
$${\bf y''} = A{\bf y}$$
donde${\bf y} = \pmatrix{y^1\\y^2}$$A = \pmatrix{13/3 & 20i/3\\20i/3 & -37/3}$. Presentamos ${\bf y}_1 = {\bf y}$${\bf y}_2 = {\bf y'}$, de modo que
$$\pmatrix{{\bf y_1'}\\{\bf y_2'}} = \pmatrix{{\bf y_2}\\A{\bf y_1}}$$
que puede ser escrito
$${\bf Y'} = \pmatrix{0&0&1&0\\0&0&0&1\\13/3 & 20i/3&0&0\\20i/3 & -37/3&0&0}{\bf Y}$$
donde $Y_1 = {\bf y^1_1} = {\bf y^1}$, $Y_2 = {\bf y^2_1} = {\bf y^2}$, $Y_3 = {\bf y^1_2}$, $Y_4 = {\bf y^2_2}$ (aquí un super-script indica el número de componente).
