Aclaración sobre el enunciado de un lema en teoría de Martingales.

Question

Lo siguiente está tomado del libro "Probability with Martingales" de David Williams

Supongamos que $T$ es un tiempo de parada tal que para algún $N$ en $\mathbb{N}$ y algunos $\epsilon>0$ tenemos, para cada $n$ en $\mathbb{N}$ $$P(T\leq n+N|\mathcal{F}_n)>\epsilon,\hspace{12 mm}a.s.$$ Entonces $E(T)<\infty$ .

Mi pregunta es: ¿por qué $P(T\leq n+N|\mathcal{F}_n)$ una variable aleatoria (o ¿qué quiere decir aquí con "a.s")?

Answer 1

Las probabilidades condicionales SON variables aleatorias.

Si se trata de martingalas, seguro que ha visto antes las expectativas condicionales: $\mathbb{E}[X\mid\mathcal{F}]$ es un $\mathcal{F}$ -variable aleatoria medible $Y:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ tal que para todo $F\in\mathcal{F}$ , $$ \mathbb{E}[Y;\ F]=\mathbb{E}[X;\ F], $$ donde $\mathbb{E}[Z;\ F]:=\mathbb{E}[Z\cdot 1_{F}]$ .

Las probabilidades condicionales del tipo que describes son simplemente las expectativas condicionales de los indicadores: $$ P(T\leq n+N\mid \mathcal{F}_n):=\mathbb{E}[1_{T\leq n+N}\mid\mathcal{F}_n], $$ que es de nuevo un $\mathcal{F}_n$ -variable aleatoria en su espacio de probabilidad original.