10 votos

¿Por qué son importantes las transformaciones lineales?

¿Qué tan importante son las transformaciones lineales en álgebra lineal? En algunos textos, las transformaciones lineales se introducen primero y luego la idea de una matriz. En otros libros, las transformaciones lineales se relegan a ser una aplicación de matrices. ¿Cuál es la mejor manera de introducir la transformación lineal en un curso de álgebra lineal? ¿Cómo motivamos a los estudiantes a estudiar transformaciones como parte del álgebra lineal? ¿Cuál es su impacto real?

1 votos

Si estudias transformaciones arbitrarias ya no estás haciendo álgebra lineal.

0 votos

La teoría de las transformaciones lineales es realmente importante para comprender la mecánica cuántica, incluso a nivel de pregrado. Es por eso que me resulta extraño que el álgebra lineal de pregrado se base principalmente en matrices 3x3, determinantes, resolución de ecuaciones algebraicas acopladas (como lo hicimos en la escuela secundaria) y vectores en $R^3$. Dicho esto, no aprecié el concepto de espacios vectoriales cuando tomé álgebra lineal, por lo que tal vez entender el álgebra lineal real requiere cierta madurez matemática. Si no está al tanto, eche un vistazo a "Álgebra Lineal Hecha Bien".

7voto

Mike Puntos 71

Las transformaciones lineales, si te refieres a aplicaciones lineales, son fundamentales en álgebra lineal. De hecho, prácticamente todos los teoremas en álgebra lineal se pueden formular en términos de las propiedades de las aplicaciones lineales. Además, las aplicaciones lineales son morfismos que preservan la estructura del espacio vectorial y el álgebra lineal es el estudio de los espacios vectoriales y, en gran parte, el estudio de sus endomorfismos. Los endomorfismos son aplicaciones lineales que asocian vectores de un espacio vectorial a vectores en el mismo espacio vectorial. En general, en cada curso de álgebra (bueno) que habla sobre una cierta estructura (pueden ser grupos, anillos, campos, módulos, representaciones lineales, categorías...) siempre comienza definiendo la estructura y sus axiomas, luego definiendo subestructuras, y luego morfismos que preservan esa estructura. En dimensiones finitas, los espacios vectoriales son convenientes porque sus escalares son elementos de un campo y tienen una base, es decir, una familia de vectores linealmente independientes que generan cualquier otro vector. Esta propiedad permite representar los endomorfismos como una tabla que te indica cómo transformas los vectores de esa base en vectores de otra base (esto es un teorema en realidad). Tener esta información es suficiente porque puedes reconstruir la imagen de cualquier otro vector mediante combinaciones lineales y las propiedades de linealidad del endomorfismo. Por lo tanto, las matrices definitivamente vienen después de las transformaciones lineales, ya que son solo una representación de ellas hasta la elección de una base para los espacios vectoriales. Para aplicaciones lineales que van de un espacio vectorial a otro de diferente dimensión (si es la misma dimensión, los dos espacios vectoriales son isomorfos y tienes un automorfismo), la matriz es rectangular porque las dos bases no tienen la misma cardinalidad (es decir, no tienen la misma dimensión).

2 votos

¿De dónde proviene el término "aplicación lineal"? Nunca lo he visto antes.

0 votos

Tal vez no exista en los libros de inglés ¡jaja! Lo siento, traduje del francés... Aquí está la definición exacta de lo que llamo aplicación lineal en mi respuesta: Sea $V$ y $W$ dos espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo $K$, una aplicación lineal $f$ es un morfismo de grupos de $(V,+)$ a $(W,+)$ que tiene la siguiente propiedad: $$\forall v \in V, \forall \lambda \in K, f(\lambda v)=\lambda f(v).$$

2 votos

Supuse que eras francés ;) En inglés normalmente se les llama mapas lineales, transformaciones lineales u operadores lineales.

4voto

Berci Puntos 42654

Simplemente diría que 'geometría' puede ser una buena motivación. Menciona rotaciones, reflexiones, transformaciones de similitud, proyecciones a un subespacio... A grandes rasgos, son las transformaciones geométricas que mantienen el origen y llevan líneas a líneas. Entendí mucho mejor las matrices cuando pude imaginar algo de geometría detrás...

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X