Si sabemos, independientes de las variables aleatorias $X$$Y$, $P(X>x)\leq0.05$, e $P(Y>y)\leq0.05$, podemos decir nada acerca de $P(X+Y>x+y)$? Podemos estar seguros de que es menos de $0.05$? Bajo qué condiciones podemos decir que?
Respuesta
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Si $X$ $Y$ son independientes de variables aleatorias tales que tenemos $P\{X > x\} = a$ $P\{Y > y\} = b$ donde $x$, $y$, $a$, y $b$ números conocidos para nosotros, entonces $$\begin{align*} P\left(\{X > x\} \cup \{Y > y\}\right) &= P\{X > x\} + P\{Y > y\} - P\{X > x, Y > y\}\\ &= P\{X > x\} + P\{Y > y\} - P\{X > x\}P\{Y > y\}\\ &= a + b - ab. \end{align*}$$ Ahora, el caso de $\{X+Y > x+y\}$ es un subconjunto del evento $P\left(\{X > x\} \cup \{Y > y\}\right)$ y un superconjunto del evento $P\left(\{X > x\} \cap \{Y > y\}\right)$, y así tenemos que $$ab \leq P\{X+Y > x+y\} \leq a + b - ab.$$ Ambos límites son alcanzables.
Ejemplo: Tome $X$ $Y$ a ser independientes de Bernoulli al azar las variables con el parámetro $\frac{1}{2}$. Para $x=y=\frac{1}{4}$, tenemos $P $\left\{X > \frac{1}{4}\right\}=P\left\{Y > \frac{1}{4}\right\}=\frac{1}{2}; ~P\left\{X +Y > \frac{1}{2}\right\}= \frac{3}{4} = a+b-ab$$ mientras que para $x=y=\frac{3}{4}$, tenemos $P $\left\{X > \frac{3}{4}\right\}=P\left\{Y > \frac{3}{4}\right\}=\frac{1}{2}; ~P\left\{X +Y > \frac{3}{2}\right\}= \frac{1}{4} = ab.$$
Si todo lo que sabemos es que el $P\{X > x\} \leq a$ $P\{Y > y\} \leq b$ (es decir, sólo tenemos parte superior de los límites de las probabilidades, y los valores exactos de las probabilidades que bien podría ser $0$), entonces no podemos concluir que el $ab \leq P\{X+Y > x+y\}$ ya que bien podría se que $P\{X+Y > x+y\} = 0$. Pero el límite superior $$P\{X+Y > x+y\} \leq a + b -ab$$ aún se mantiene. Tenga en cuenta que el complementario del suceso $\{X+Y \leq x+y\}$ ha un subconjunto $\{X\leq x, Y\leq y\}$ cuya probabilidad es $P $\{X\leq x, Y\leq y\} = P\{X\leq x\}P\{Y \leq y\} \geq (1-a)(1-b) = 1-a-b+ab$$ y así $$P\{X+Y \leq x+y\}\geq 1-a-b+ab \Rightarrow P\{X+Y > x+y\}\leq a+b-ab.$$
