¿Qué primario de la descomposición de (sub) de los módulos significa geométricamente?

Question

Quiero saber cómo debo visualizar los módulos en la geometría algebraica. La forma en que visualizamos los anillos, a través de sus espectros, de forma automática (o por la belleza de su diseño) representa el principal de la descomposición de los ideales: los componentes principales de un ideal de a $I \triangleleft A$ cut out "de primaria subschemes" (irreductible, y los elementos embebidos), cuya unión es $Z(I)=Spec(A/I)$. (Véase, por ejemplo, Eisenbud y Harris, La Geometría de los Esquemas, II.3.3, pp 66-70). Este aspecto del esquema de la teoría es esencial para lo que lo hace "geométrica."

Por esta norma, sin embargo creo que podemos visualizar los módulos deberían nos permiten representar principal de la descomposición de los submódulos; de lo contrario, yo diría que no es una muy buena visualización.

Si estamos felices de tomar cocientes, WLOG sólo podemos ver primaria de la descomposición de los $0$. Así que vamos a $M$ ser un finitely módulo generado más de un Noetherian anillo de $A$, e $0=N_1\cap\cdots\cap N_n$ siendo una de las principales de la descomposición de $0$$M$, con los números primos $P_i$ co-asociados a los módulos principales se $N_i$, es decir, asociada a la coprimary módulos de $M/N_i$.

¿Cómo se puede visualizar los módulos de $M,N_1,\ldots,N_n$ en relación al $Spec(A)$ en una manera que representa de manera significativa:
(1) el principal de la descomposición de $0$ $M$ (en particular, de que el $N_i$ son primarios en $M$), y
(2) la relación de los módulos de $N_i$ a sus co-asociados de los números primos, dicen
{ $P_i$ } $ = Ass(M/N_i) \subseteq Spec(A)$?

Algunos útiles de fondo de los resultados para dar sentido a los anteriores (todos los anillos y módulos de Noetherian):

• Los números primos $P_i$ co-asociados a $N_i$ son precisamente los primos asociados de $M$ (ver R. Ash, Comutative Álgebra, Teorema de 1.3.9)

• Un módulo de $Q$ es coprimary fib tiene exactamente un asociado prime $P$, y, a continuación,$P=\sqrt{ann Q}$. (ver R. Ash, Comutative Álgebra, Corolario 1.3.11)

Answer 1

Voy a asumir que todo lo que la vista es Noetherian y finitely generado. A continuación, el principal de la descomposición de cantidades para una descripción de la geometría del soporte del módulo de $M$ si se ve como una gavilla en $\text{Spec}(A)$. El esquema de $\text{Spec}(A/\text{Ann}(M))$ es un subscheme de $\text{Spec}(A)$ que, por definición, admite $M$. Si $N_i$ es mínima, entonces $\text{Spec}(A/P_i)$ es una componente irreducible de $\text{Spec}(A/\text{Ann}(M))$. El módulo de $M/N_i$ es también un cociente de $M \otimes (A/P_i^n)$ $n$ lo suficientemente grande (y en una reducción de la descomposición creo que son iguales), por lo que es parte de $M$ de ese componente irreducible de su apoyo. Si $N_i$ no es mínima, entonces $\text{Spec}(A/P_i)$ es una irreductible esquema dentro de un componente de $\text{Spec}(A/\text{Ann}(M))$.

Answer 2

La visualización de embebido de los números primos: En P^2, uno dimensional esquema no han incorporado puntos menos que su ideal tiene más de un generador, por el unmixedness teorema de Macaulay. Así que imaginemos que tenemos dos polinomios que definir uno dimensional esquema en el P^2. Vamos a imaginar que este plan como un límite de cero dimensiones de los esquemas. En primer lugar tomar dos polinomios cuadráticos, uno de los cuales es un producto de dos factores lineales, es decir, tomar un par de líneas de reunión en p, y otro irreductible cónica. En general, el irreductible cónica C cumple con cada una de las líneas dos veces, lejos de la p. Así que los dos qudratic polinomios definir un cero dimensional esquema de 4 puntos.

Ahora mantenga fija las dos intersecciones de C con una de las líneas L, y dejar que los dos intersecciones de C con el resto de la línea M p, es decir, vamos a C vuelto tangente a M en p. Cuando esto ocurre, la cónica C ahora contiene tres puntos distintos de L, por lo tanto C se ha convertido en reducible y contiene L. Ahora, el plan definido por la intersección de L+M con C se ha convertido en uno dimensional, reducible, y consiste en establecer teóricamente sólo de la línea L. reclamo el punto p es un punto incrustado de la componente L del esquema definido por L+M y C.

Esto es fácil de manera algebraica, ya que el ideal del esquema dado es (xy,(x(x-y)) = (x^2, xy), que es la intersección de los principales ideales (x) y (x^2, xy, y^2), con los correspondientes números primos (x) y (x,y). Por lo tanto (x,y) es un integrado prime. I. e. el origen es un punto incrustado en el eje y, para este esquema. Esto también ayuda a explicar el aparente fracaso de Bezout del teorema de la intersección de dos cónicas al parecer no tener grado 4.

En general, en P^n, un esquema S con embedded subschemes debe ser definido por la intersección de más hypersurfaces de la codimension de S. por Lo tanto un S siempre puede ser visto como un límite de dimensiones inferiores esquemas. A mí me parece que incrustado subschemes debe surgir cuando estas dimensiones inferiores a los esquemas de reducible y algunos de dimensiones inferiores componente viene a mentir en un mayor componente fundamental del límite. No sé si esta intuición es la única posibilidad, y desde que el mundo es amplio, probablemente no.