El $n$-ésima raíz de un número $x$ donde $n$ es un entero positivo, es un número $r$ que, cuando es elevado a la potencia $n$ rendimientos $x$. [Wikipedia.org]
Pero yo no veo ningún problema con el siguiente ejemplo:
$$\sqrt[-1]{\frac{1}{2}} = 2$$
Por qué $n$ tiene que ser un positivo entero? Hay alguna buena razón por la que debe restringir sólo a los enteros positivos?
Algunas definiciones en torno a la web: Wikipedia, PlanetMath, ICoachMath, etc...
Respuestas
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En última instancia, esta es una cuestión de notación, y la función de los dominios. Vamos a empezar con la no-polémica territorio:
- Si $x \neq 0$ $n$ es un número entero, entonces $x^{-n} = 1/x^{n}$.
$x \geq 0$ es real, y $n$ es un número entero positivo:
No existe una única no-número real negativo $y$ satisfacción $y^{n} = x$, a menudo escrito $y = \sqrt[n]{x}$. (Existencia de $y$ es no trivial teorema de primaria análisis real.)
El número de $\sqrt[n]{x}$ a veces denotado $x^{1/n}$; esto es a menudo llevado a ser la definición de criar a un no número real negativo para la alimentación de $1/n$.
Si $m$ es un entero no negativo, entonces $(x^{1/n})^{m} = (x^{m})^{1/n}$; el valor común es generalmente denotado $x^{m/n}$. (Estoy implícitamente la definición de $x^{0} = 1$ todos los $x \geq 0$, incluso si $x = 0$. Si este rankles, siéntase libre de asumir $x > 0$ a lo largo de esta sección.)
Si $m$ es negativo, y si $x > 0$,$(x^{1/n})^{m} = (x^{m})^{1/n}$, y de nuevo el valor común es denotado $x^{m/n}$.
Sujeto a los anteriores supuestos, se tiene, para todos los números racionales $r$$s$, $$ x^{r + s} = x^{r} \cdot x^{s},\qquad (x^{r})^{s} = x^{rs} = (x^{s})^{r}. $$ En particular, $x^{(km)/(kn)} = x^{m/n}$.
Si $r$ es real y $x > 0$, es común definir $x^{r} = e^{r \log x}$. Esta definición está de acuerdo con la anterior algebraicas definición de exponentes racionales, y es el único continua "extensión" de la exponenciación arbitraria real exponentes.
$x < 0$ es real, y $n$ es un número entero positivo:
Si $n$ es impar, existe una única real $y$, necesariamente negativo, de tal manera que $y^{n} = x$. Para cada entero$m$, $x^{m/n} = (x^{1/n})^{m} = (x^{m})^{1/n}$
Si $n$ es aún, no existe una real $y$ tal que $y^{n} = x$.
Precauciones:
A menudo uno está de acuerdo en que $(-1)^{2/6} = \bigl((-1)^{2}\bigr)^{1/6} = 1$, mientras que $(-1)^{1/3} = -1$.
Más generalmente, si usted quiere tomar las raíces de números negativos permitiendo que los valores complejos de raíces, usted tiene que tener cuidado con las ramas de raíces complejas; ecuaciones como $(x^{a})^{b} = x^{ab}$ no son verdad sin calificación. (Relacionado con los asuntos se discuten en detalle en otras partes de las Matemáticas.SE.)
En mi experiencia, la notación $\sqrt[n]{x}$ $n$ no es un entero mayor que $1$ es en el mejor de los raros, posiblemente inexistente. Sin duda, uno puede definir $\sqrt[r]{x} = x^{1/r}$ sujeto a los anteriores convenios (por ejemplo, para arbitrario no nulo real $r$ si $x > 0$), en cuyo caso $\sqrt[r]{0.25} = 4$ (es decir, $0.25^{1/r} = 4$ en notación convencional) no tiene una solución, $r = -1$. Esto parece ser una insatisfacción en la manera de probar un maestro de malo, sin embargo.
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Una de las razones para no incluir números enteros negativos es porque estamos resolviendo una ecuación que es la inversa de un polinomio. Específicamente un monomio.
Cuando estamos tomando $y^{n}=x$ si $n$ tiene que ser un número entero positivo, debe ser porque estamos resolviendo una ecuación que es la inversa de sólo un monomio función.En otras palabras nos van a resolver el $n$th raíz de problemas para el $y$ de la inversa de $x^{n}=y$
Creo que la terminología de las raíces de una función de vino a partir de la definición de la $n$th raíz de monomials. Las raíces de la función o de la relación son los valores de $f(x)=0$ o $f(y)=0$. Supongamos $x=a$ donde $a$ es un número real, entonces el $n$th raíz implica la solución de $y^{n}-a=0$. Para obtener más información, consulte aquí.
En el caso de que el entero negativo $n$ $y^{n}=x$ somos la solución para que el $y$ de la inversa de una función racional (ex: $x=\frac{1}{y^2}$), pero no a la inversa de un monomio.
Ahora si no hay ninguna conexión de $n$th raíces para resolver el inverso de un monomio, que podría haber incluido los valores fraccionarios de $n$ (ej: $y^{1/2}=x$). Sin embargo, de nuevo, que son la solución de la inversa de una función de raíz, no es un monomio.
Edit: Si tomamos $y^{n}=x$ $n$ es un sin diluir negativo fracción y $x$ es un número negativo, entonces hay ciertos problemas con la resolución de $y$ ($y^{3}=-2$ no es $y^{6/2}=-2$ $(-2)^{1/3}{\neq}(-2)^{2/6}$ desde $\sqrt[3]{-2}{\neq}\sqrt[6]{(-2)^{2}}$) . Por otro lado, si n es una reducción de la fracción, a continuación, no hay ningún problema. Por lo tanto si $n$ es una reducción del número entero negativo puede utilizar la identidad de $x^{n}=\frac{1}{x^{-n}}$.
