Encontrar una función cuyo valor en $n$ $n^{\text{th}}$ primer

Question

Para enteros positivos $a$$b$, evaluar:

$$f\left ( a,b \right )=\frac{1}{a}\sum_{j=1}^{a}\cos\left ( \frac{2\pi jb}{a} \right )$$

Por lo tanto, encontrar una función $g\left ( n \right )$, $n \in \mathbb{Z}$, tal que $g(n)=1$ si $n$ es el primer y $g(n)=0$ si $n$ es compuesto.

El uso de $g(n)$ construir una función $p\left ( n \right )$ cuyo valor en $n$ $n^{\text{th}}$ número primo.

Answer 1

Una de las notas que $$f(a,b)=\frac{1}{a}\operatorname{Re}\left(\sum_{j=1}^{a}(e^{\frac{2\pi ib}{a}})^j\right) = \begin{cases}1 & b\equiv 0\pmod a\\ e^{\frac{2\pi ib}{a}}\frac{1-e^{\frac{2\pi iba}{a}}}{1-e^{\frac{2\pi ib}{a}}} & b\not\equiv0\pmod a\end{cases} = \begin{cases}1 & b\equiv 0\pmod a\\ 0 & b\not\equiv0\pmod a\end{cases}$$

Esto nos permite calcular el número de divisores de a$b$$\sum_{a=2}^{b-1}f(a,b)$.

Answer 2

Hay varias maneras de definir el carácter de las funciones principales $g(n)$. Además de $g(n)= \pi(n)-\pi(n-1)$, uno podría dar como Dirichlet producto de convolución de la función aritmética $\omega(n)$ y el de Moebius $\mu$-función. Ya tenemos $\omega(n)=\sum_{p\mid n}1=\sum_{d\mid n}g(d)$, Moebius inversión de la fórmula de los rendimientos $$ g(n)=\sum_{d\mediados n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)\omega(d)=(\mu\ast \omega)(n). $$ Una fórmula para$p_n$, $n$- ésimo número primo, es $$ p_n=2+\sum_{k=2}^{2n\log n+2}\left( 1-\lfloor \frac{\pi(k)}{n}\rfloor\right) $$ para todos los $n\ge 2$. Tengo que admitir, que no sé cómo usar $f(a,b)$ aquí.