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Cómo mostrar que todas las trayectorias de este sistema dinámico final en un disco?

Considere el sistema:

$$\begin{alignat}{2} x_{1}' &=&~ -ax_2 &+ x_{1}\left(1-x_{1}^2-x_{2}^2\right),\\ x_{2}' &=& ax_1 &+ x_{2}\left(1-x_{1}^2-x_{2}^2\right)-b, \end{alignat} $$ where $a,b$ are real numbers. The task is to show that there is a disk which eventually contains every orbit of the system and that there is a limit cycle only if $b$ es cero.

Hasta este punto, yo estaba tratando de construir una función de $V(x_1,x_2)$ con el negativo de la derivada a lo largo de la solución de curvas en un disco pero no llegar a ninguna parte.

Tal vez una prueba, asumiendo el contrario, además de un argumento teórico que hacer el trabajo, pero me daría la bienvenida a las sugerencias aquí.

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Jonas Puntos 329

Realmente $V(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$ lo hace todo. Escrito $r^2=x_1^2+x_2^2$ tenemos $$ \frac12\frac{d}{dt}V(x_1,x_2)=r^2(1-r^2)-bx_2 $$ y así, por $r$ muy grande esto es negativo: es aproximadamente igual a $-r^4$ (y también a $|x_2|\le r$).

Para la segunda pregunta a ver los comentarios por Evgeny.

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Usando coordenadas polares,$\ x_1=r\cos(\theta )$ $ \ x_2=r\sin(\theta )$ transforma el sistema $$x_{1}'=-ax_2+x_{1}(1-x_{1}^2-x_{2}^2)$$ $$x_{2}'=ax_1+x_{2}(1-x_{1}^2-x_{2}^2)-bx_2 $$ into $$r'=(1-r^2)r^2-bx_2$$ $$\theta '=a-bx_1/r$$Note that $$r'=(1-r^2)r^2-bx_2= -r^4+ r(r-b\sin(\theta )) $$ por Lo tanto, si consideramos un disco con un gran radio, r' será negativo y la trayectoria se mantiene en el disco.

Para $b=0$ obtenemos $r'=0$$r=1$, lo que hace que $r=1$ un ciclo límite.

Por otro lado Para $b\ne 0$, $ r'$ depende de a $\theta $ y no hay límite de ciclo.

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