Deje que $R$ ser un anillo con unidad y $I$ un ideal en $R$ . Quiero mostrar que $R/I$ no tiene por qué ser plano sobre $R$ pero no sé cómo llegar a un contra-ejemplo.
Cualquier indicio es apreciado.
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Nir
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Análisis del problema:
Supongamos que $R/I$ es plana $R$ .
Luego tensor de la secuencia corta y exacta $0 \to I \to R$ por $R/I$ produce una nueva secuencia exacta $$0 \to I \otimes_R R/I \to R \otimes_R R/I \quad (*)$$ Recordando la identificación estándar $M \otimes_R R/I \xrightarrow { \cong } M/I M:\tilde m \otimes \tilde r \mapsto \overline {rm}$ para cualquier $R$ -módulo $M$ que obtenemos de $(*)$ el mapa inyectivo $$ 0 \to I/I^2 \to R/ I:\tilde i \mapsto \overline {i} = \bar 0 \quad (**) $$ Pero el morfismo $(**)$ es claramente el mapa cero.
Sólo puede ser inyectable si $I/I^2=0$ o equivalente si $I=I^2$ . Así que hemos demostrado $$ R/I \; \text {flat} \implies I=I^2 $$
Conclusión:
Por contraposición, si $I \neq I^2$ el $R$ -módulo $R/I$ está garantizado que no es plano.
Así que en un sentido no formal pero muy claro $R/I$ prácticamente nunca es plana, ya que un ideal casi nunca es igual a su cuadrado.
He aquí un resultado (una consecuencia del lema de Nakayama) que corrobora esta declaración informal:
Teorema:
Si $I$ se genera finamente y $I=I^2$ Entonces $I=(i)$ para algún idiota $i=i^2 \in R$
Corolario:
Si $R$ es un dominio noetheriano y $0 \subsetneq I \subsetneq R$ un ideal, entonces $R/I$ no es plana.
rschwieb
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Podrías insistir en que $R$ ser local, y entonces la planitud equivale a la proyectividad.
Para frustrar $R/I$ de ser proyectivo, sólo se aseguraría de que $I$ no es una suma de $R$ .
Así que ahí lo tienes, un plano para encontrar un ejemplo. Cualquier anillo local conmutativo con un ideal que no sea un sumando funcionará. Una elección obvia sería $ \mathbb {Z}/(p^2)$ para un primer $p$ .
Rudy the Reindeer
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Toma la secuencia exacta $$ 0 \to \mathbb Z \xrightarrow { \cdot 2} \mathbb Z \to \mathbb Z / 2 \mathbb Z \to 0$$
y tensor con $ \mathbb Z / 3 \mathbb Z$ para conseguir $$ 0 \to \mathbb Z \otimes \mathbb Z / 3 \mathbb Z \xrightarrow { \cdot 2} \mathbb Z \otimes \mathbb Z / 3 \mathbb Z \to \mathbb Z / 2 \mathbb Z \otimes \mathbb Z / 3 \mathbb Z \to 0$$
que es isomorfo a $$ 0 \to \mathbb Z / 3 \mathbb Z \to \mathbb Z / 3 \mathbb Z \to 0 \to 0$$
que ya no es exacto.
Considere $R = \mathbf Z$ y tomar el ideal $I = 2 \mathbf Z$ . Ahora eche un vistazo a la secuencia exacta $0 \to 2 \mathbf {Z} \to\mathbf {Z} \to \mathbf {Z}/2 \mathbf {Z} \to 0$ .
¿Puedes ver lo que pasa cuando tensas esta secuencia exacta sobre $ \mathbf {Z}$ ? Deberías ser capaz de probar que la secuencia resultante no puede ser exacta.
