¿Cuál es la probabilidad de que el transbordador espacial volará?

Question

Ques.

La NASA está desarrollando dos secretas de los transbordadores espaciales. Uno de ellos tiene dos motores, la otra de cuatro. Todos los motores son idénticos, y tienen la misma probabilidad de error. Cada uno está diseñado para volar, si al menos la mitad de sus motores de trabajo. Un científico visitante dice, "Los cuatro motores de la lanzadera es más fiable, ¿no?" El técnico de la NASA las respuestas que la probabilidad de fracaso es alto secreto, pero que, de hecho, tanto las lanzaderas tienen la misma probabilidad de volar. A continuación, el visitante dice, "¡Ajá! No importa, ahora Sé que tanto la probabilidad de un motor fallará y la probabilidad de que el traslado va a volar." ¿Cómo averiguar esto, y ¿cuáles son las dos probabilidades?

Intento:

Deje $x$ la probabilidad de que un motor de trabajo.

Entonces la probabilidad de que un motor no funcione es $1-x$.

La lanzadera de espacio $1$ va a volar cuando al menos un motor funcionará= probabilidad de que un motor funcionará + probabilidad de que ambas motor funciona

Probabilidad de que la lanzadera de espacio $1$ (con dos motores) va a volar $=x(1-x)+x^2$

Probabilidad de que la lanzadera de espacio $2$ (con cuatro motores) va a volar $=x^2(1-x)^2+x^3(1-x)+x^4$

Ahora, estamos teniendo en cuenta que tanto las lanzaderas tienen la misma probabilidad de volar $\Rightarrow x(1-x)+x^2=x^2(1-x)^2+x^3(1-x)+x^4$

Resolviendo obtenemos $(x^2-x)(x^2+1)=0$

Como $x$ debe ser real, no. llegamos $x=0$ o $1$.

Estoy en lo cierto ?

Answer 1

Deje $p$ denotar la probabilidad de que un motor que va a ser bueno.

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La probabilidad de que el $\color\red2$-motor servicio de transporte será de buena es:

$$\sum\limits_{n=\color\red2/2}^{\color\red2}\binom{\color\red2}{n}\cdot(p)^{n}\cdot(1-p)^{\color\red2-n}$$

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La probabilidad de que el $\color\green4$-motor servicio de transporte será de buena es:

$$\sum\limits_{n=\color\green4/2}^{\color\green4}\binom{\color\green4}{n}\cdot(p)^{n}\cdot(1-p)^{\color\green4-n}$$

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Sabemos que:

$$\sum\limits_{n=\color\red2/2}^{\color\red2}\binom{\color\red2}{n}\cdot(p)^{n}\cdot(1-p)^{\color\red2-n}=\sum\limits_{n=\color\green4/2}^{\color\green4}\binom{\color\green4}{n}\cdot(p)^{n}\cdot(1-p)^{\color\green4-n}$$

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Por lo tanto:

$$\tiny\binom21\cdot(p)^{1}\cdot(1-p)^{2-1}+\binom22\cdot(p)^{2}\cdot(1-p)^{2-2}=\binom42\cdot(p)^{2}\cdot(1-p)^{4-2}+\binom43\cdot(p)^{3}\cdot(1-p)^{4-3}+\binom44\cdot(p)^{4}\cdot(1-p)^{4-4}$$

Por lo tanto:

$$2p(1-p)+p^2=6p^2(1-p)^2+4p^3(1-p)+p^4$$

Por lo tanto:

$$-3p^4+8p^3-7p^2+2p=0$$

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No estoy seguro de cómo resolver esta ecuación, pero WolframAlpha da las siguientes soluciones, todas dentro del rango legal (conforme a la definición de probabilidad):

• $p=0$
• $p=2/3$
• $p=1$

A partir de aquí se puede calcular la probabilidad de que un motor se producirá un error y la probabilidad de que el servicio de transporte (cualquiera de ellos) va a volar...

Answer 2

La probabilidad de que los dos motores de la lanzadera a volar es la probabilidad de que un solo motor trabaja más la probabilidad de que ambos motores trabajan. El que utiliza ese hecho, pero no descuida el hecho de que cuando un motor falla, el motor que funciona podría ser el primer motor o el segundo motor. Así que la probabilidad de que volar no es $x(1-x)+x^2$, como usted escribió, sino $2x(1-x)+x^2$.

Del mismo modo, en los cuatro motores probabilidad de que se les olvidó contar el número de maneras en que podría ocurrir que los tres motores de trabajo o que sólo dos motores de trabajo.

Parece más fácil escribir la probabilidad de que el servicio de transporte se no volar, escribir $q$ para la probabilidad de que un motor falle. A continuación, usted sólo tiene en cuenta una posibilidad para dos motores (es decir, necesita la probabilidad de que los dos motores fallan, que es $q^2$), y para los motores de cuatro sólo necesita considerar tres o cuatro motores en su defecto (que viene a $4q^3(1-q)+q^4$).

Por tanto, tenemos $$ q^2 = 4t^3(1-q)+q^4 $$ Claramente este polinomio en $q$ tienen ceros en$q=0$$q=1$, porque si los motores funcionan con una probabilidad de $1$, en tanto que las lanzaderas volar con una probabilidad de $1$, mientras que si los motores fallan con una probabilidad de $1$, en tanto que las lanzaderas volar con una probabilidad de $0$. Pero podemos factor $q^2$ a cada lado de la ecuación anterior, por lo que si $q\neq1$ $$ 1 = 4t(1-q)+q^2 = t4-t3^2, $$ a partir de la cual nos encontramos con que $$ 3t^2 - 4t +1 = 0. $$ La aplicación de la fórmula cuadrática, nos encontramos con dos raíces. Una de las causas es la que ya sabemos que debe existir, $q=1$, y el otro es $q=\frac13$. Ahora recuerdo que la probabilidad de un motor que funciona es $1-q$, y que la probabilidad de que el primer traslado de las moscas es $1-q^2$, y usted puede encontrar la probabilidad de que la visita científico encontró.

(Creo que se supone asumir que la probabilidad de cada motor de trabajo no es ni $0$ ni $1$ debido a estos resultados, no sería "realista".)