Kaluza-Klein en la teoría de las supercuerdas

Question

En la teoría de las supercuerdas, que dice que se ajustan 16 dimensiones en un toro dada por $\mathbb{R}^{16}$ dividido por un SO(32) o $E_8 \times E_8$ celosía y esto le da un indicador de grupo del mismo nombre.

Pero en la teoría de Kaluza-klein es el grupo de isometría de las dimensiones compactas que da el grupo gauge.

No un 16 dimensiones toro han isometría grupo de $U(1)^n$ ya que es el producto de $S_1$?

O es la reducción de las 16 dimensiones diferentes a los habituales de Kaluza-Klein compactification?

Yo estoy luchando para ver cómo compactification en un $E_8$ toro daría $E_8$ grupo gauge especialmente en lo $E_8$ no tiene 8 dimensiones de la representación? Si hay algo que sólo podía ser la isometría de un 248 dimensiones de la superficie...

Answer 1

Usted está hablando de las dos maneras de construir una constante de 10 dimensiones heterotic la teoría de cuerdas. El artículo original "Heterotic la teoría de cuerdas: I. El libre heterotic cadena" por Bruto, Harvey, Martinec y Rohm es bastante accesible y describe la detallada construcción. Me ocuparé de tu pregunta específica de cómo el compactification en un toro se las arregla para generar este tipo de "grandes" grupos como $\mathrm{SO}(32)$ $E_8\times E_8$ sin dar más detalles.

Estás en lo correcto de que por lo general sería de esperar que sólo una de Kaluza-Klein estilo de $\mathrm{U}(1)^{16}$ de compactifying en un 16 dimensiones de toro. Sin embargo, este grupo gauge como un indicador de grupo para una 10d SUGRA teoría está prohibido desde el gravitatorio y el indicador de anomalías no cancelar, así que no solo esta construcción no el rendimiento de la conocida cadena de heterotic, no produce un constante efectiva de la teoría a todos!!!!

El punto crucial es "elegir el derecho de toro", es decir, la relación de los radios de las 16 círculos deben ser elegidos específicamente para un rendimiento consistente de la teoría. La forma habitual para codificar esta opción es pensar en el $T^{16}$ $\mathbb{R}^{16}/\Gamma$ donde $\Gamma$ es un discreto dieciséis dimensiones de celosía. Ahora uno examina la bosonic parte del espectro de un sistema cerrado heterotic cadena en este fondo. Resulta que las excitaciones que corresponden a la cadena ser "la herida" de todo el compactified dimensiones convertido en masa, en especial las opciones de $\Gamma$. Esas excitaciones, junto con la habitual masa de Kaluza-Klein modos, ahora junto a transformar como el adjunto de un calibre mayor grupo de $G$ estrechamente relacionado con el entramado $\Gamma$, que resulta ser la raíz de celosía de $G$. Ahora las dimensiones de la geometría y los grupos coinciden en la forma en que la dimensión de la rejilla/toro corresponde al rango (no la dimensión del grupo, por lo que el 16 de dimensiones toro no tiene ningún problema de generación de los 496 dimensional $E_8\times E_8$.

Otras consideraciones relativas a la consistencia de la interacción de la teoría de cuerdas fuertemente restringir el entramado $\Gamma$ a de ser integral, auto-dual, e incluso. En 16 dimensiones, sólo dos de estas celosías que existen son aquellos que están asociados con $E_8\times E_8$$\mathrm{SO}(32)$. Como nota interesante, recientemente (2010) ha demostrado por Adams, deWolfe y Taylor en "Cadena de universalidad en las diez dimensiones" que las otras dos opciones de medidor de grupos, en particular,$\mathrm{U}(1)^{496}$, no poseen una constante de Verde-Schwarz mecanismo y son anómalos, por lo que estos dos grupos son realmente el único permitido medidor de grupos para una 10D SUGRA $\mathcal{N}=1$ teoría de gauge.

Answer 2

Creo que usted está pensando en toroidal compactification. Para el bosonic cadena consideramos $O(26-d,10-d, \mathbb R)$ para el conjunto de transformaciones que compactify a la $10$ dimensiones de supergravedad. Esto es para $26-d$ operadores de vértice $\partial X^\mu\psi^i$ $10-d$ operadores de vértice $\partial X^i\psi^\mu$. El entramado de raíces se asume como dada por algún grupo discreto $\Gamma$ $g~\in~O(26-d,10-d)$ podemos construir un heterotic la teoría de cuerdas. Para el espacio de moduli $$ {\cal M}~=~\frac{S(26-d,10-d,\mathbb r)}{O(26-d,\mathbb R)\times O(10-d,\mathbb R)\times O(26-d,10-d,\mathbb Z)} $$ $$ =~\frac{g}{g_1\times g_2\times O(26-d,10-d,\mathbb Z)}, $$ donde $O(26-d,10-d,\mathbb Z)$ es el T-dualidad grupo de modular o Mobius grupo de lineal fraccional transformaciones. Esta solución satisface $g_1gg_2\Gamma~\simeq~g\Gamma$. Luego tenemos la $10-d$ Kaluza-Klein bosones y $26-d$

Para $d~=~5$ este es el compactification de la $26$ dimensiones bosonic cadena y para$d-2$, esto es más de la $SO(32)$ cadena cuando es obligado a la especial ortogonal grupo. Entonces, esto da $$ PARA(32)\times U(1)^{36-2d}~\simeq~E_8\times E_8\times U(1)^{36-2d}. $$ El toro es $36-2d$ dimensiones, que para $d~=~10$ $\mathbb T^{16}$