Clasificación de los polacos topologías en un countably conjunto infinito

Question

Deje $X$ ser un countably conjunto infinito. Mientras investigasting la literatura en polaco espacios, conocí hasta ahora sólo ejemplos para compactar o localmente compacto polaco topologías en $X$:

• el fin de la topología en $[0, \Gamma)$ para una contables límite ordinal $\Gamma$ (ver aquí) - este es localmente compacto, pero no compacto (para $\Gamma = \omega$ tenemos la topología discreta en $\mathbb{N} = [0, \omega)$)
• uno-punto-compactifications de $X \setminus \{ x \}$ algunos $x \in X$ son compactos polaco, por ejemplo, $[0, \Gamma]$ (pero vea también el ejemplo de los contables Fort espacio. Wikipedia también menciona que la Fortaleza espacio surge como un uno-punto-compactification de algunos discretos en el espacio).

Pregunta 1: Si $X$ lleva un polaco topología es $X$ necesariamente localmente compacto?

Probablemente podemos hacer más:

Pregunta 2: Son los ejemplos anteriores algún tipo de "prototipos" para cualquier (a nivel local) compacto polaco topología en $X$? Por prototipo me refiero a algo como cualquier polaco topología surge a partir de estos ejemplos por las operaciones en las que $X$ es polaca y $X$ sigue siendo countably infinito, por ejemplo, finito distinto de los sindicatos, finito productos, countably infinito $G_\delta$-subconjuntos.

Dudo que una simple clasificación de las suspensiones. Hay seguro ejemplos que me han pasado por alto.

Answer 1

Si $X$ es contable y polacos, que significa que cada subconjunto cerrado de ella tiene un punto aislado (o no sería Baire!), y por lo que el espacio está dispersa, y tiene algunas contables de Cantor-Bendixson rango. Uno puede mostrar que localmente compacto contables métrica espacios (que son polacos, pero son un estricto subclase) homeomórficos a algunos contables ordinal.

(Cubre su primera clase de ejemplos; Contables Fort espacio es $\omega+1$ del curso).

Q1 es no: Vamos a $X$ ser el espacio de $(\mathbb{N} \times \mathbb{N}) \cup \{0\}$, donde la métrica se define como sigue: $d((m,n),0) = 2^{-m}$, $d((m,n),(m',n')) = 2^{-m} + 2^{-m'}$, a excepción de $\forall x: d(x,x) = 0$ del curso. Este es el polaco, pero no localmente compacto en $0$.

Q2 es sí, como dijo. Localmente compacto de estos espacios podemos tomar el punto de compactification y aplicar esta pregunta, o buscarla en los libros (no estoy seguro de una referencia en un documento, algunos dicen que es el folclore), sé que es en Semadeni del libro "espacios de Banach de funciones continuas", que podría ser oscuras. Probablemente, en otros libros (Engelking, como un ejercicio?), pero aquí es donde más he aprendido. Localmente compacto, contables métrica implica homeomórficos a un ordinal, y nada más operaciones son necesarias.