Encontrar todas las funciones $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, tal que: $(x^2 − y^2)\cdot f(xy) = x\cdot f(x^2y) − y\cdot f(xy^2)$

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, tal que: $$(x^2 − y^2)\cdot f(xy) = x\cdot f(x^2y) − y\cdot f(xy^2)$$ para todos los $x,y \in \mathbb R$

Mi trabajo hasta el momento:

1) $f(0)=0$

2) $y=1; y=\frac1x; y=-\frac1x; y=kx$

Answer 1

La suposición de continuidad en el $ x = 1 $ no es necesario. Como @Hyperplane ha demostrado, sabemos que:

1. $ f ( 0 ) = 0 $.
2. Para $ x \ne 0 $ tenemos $ f ( - x ) = - f ( x ) $, por lo que es suficiente para encontrar$ f ( x ) $$ x > 0 $.
3. $ f ( x ^ 2 ) = x f ( x ) $.

Ahora vamos a $ g ( x ) = f ( x ) - a x $ donde $ a $ es una constante número real. A través de la ecuación funcional, es fácil ver que $ g $ satisface la misma ecuación, es decir, $$ ( x ^ 2 - y ^ 2 ) g ( x y ) = x g ( x ^ 2 y ) - y g ( x y ^ 2 ) \text {.} \tag {0} $$ Por lo tanto $ g $ satisface las tres propiedades anteriores que sostenga para $ f $. También podemos dejar que $ a = f ( 1 ) $ y tiene la propiedad adicional $ g ( 1 ) = 0 $. Ahora multiplicando $ ( 0 ) $ $ x y $ y el uso de la tercera propiedad, obtenemos $$ ( x ^ 2 - y ^ 2 ) g ( x ^ 2 y ^ 2 ) = g ( x ^ 4 y ^ 2 ) - g ( x ^ 2 y ^ 4 ) $$ y, por tanto, para $ x , y > 0 $ hemos $$ ( x - y ) g ( x y ) = g ( x ^ 2 y ) - g ( x y ^ 2 ) \text {.} \tag {1} $$ Ahora dejando $ y = \frac 1 x $ $ ( 1 ) $ tenemos $$ g \bigg( \frac 1 x \bigg) = g ( x ) \text {.} \tag {2} $$ De nuevo, dejando $ y = \frac 1 { x ^ 2 } $ $ (1) $ y el uso de $ ( 2 ) $, tenemos $$ \bigg( x - \frac 1 { x ^ 2 } \bigg) g ( x ) = - g ( x ^ 3 ) \tag {3} $$ y sustituyendo $ \frac 1 x $ $ x $ $ ( 3 ) $ y el uso de $ ( 2 ) $ también tenemos $$ \bigg( \frac 1 x - x ^ 2 \bigg) g ( x ) = - g ( x ^ 3 ) \text {.} \tag {4} $$ Restando $ ( 3 ) $ $ ( 4 ) $ rendimientos $$ \bigg( x + \frac 1 x + 1 \bigg) \bigg( x - \frac 1 x \bigg) g ( x ) = 0 $$ que muestra $ g ( x ) = 0 $$ 1 \ne x > 0 $. Por lo tanto, $ g $ es la constante de la función cero y por lo tanto $ f ( x ) = a x $.

Answer 2

Desde mi primera respuesta contenía un error, así que estoy publicando esta versión revisada, que sólo da un resultado parcial a la pregunta.

Reclamo: Suponga $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ satisface $(x^2-y^2)f(xy) = xf(x^2y)-yf(xy^2)$ para todos los verdaderos $x,y$, y es continua en a $1$. A continuación, $f(x) = f(1)x$ todos los $x$; es decir, $f$ es lineal.

Prueba: Conectar $y=-x$ rendimientos $$ 0 = xf(-x^3) +xf(x^3) \implies f(x) = -f(-x) \qquad\text{for } x\neq 0 $$ Además desde $f(0)=0$, como se ve conectando $(x,y)=(-1,0)$, llegamos a la conclusión de que $f$ es una función impar. Ahora si conectamos $y=1$ lugar nos encontramos con que para todos los $x\neq 0$: $$ (x^2 -1)f(x) = xf(x^2) -f(x) \implica x^2 f(x) = xf(x^2) \implica \boxed{\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x^2)}{x^2}}\qquad (I) $$ Para $x>0$ que puede sustituir a $x\to\sqrt{x}$ encontrar $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = \frac{f(\sqrt{\sqrt{x}})}{\sqrt{\sqrt{x}}} = \ldots = \frac{f(\sqrt[2^k]{x})}{\sqrt[2^k]{x}}$ todos los $k\ge0$ varias veces la aplicación de la ecuación a sí mismo. Entonces podemos usar el hecho bien conocido de que $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x} =1$ todos los $x>0$, que junto con la continuidad de $f$ $1$ implica que para $x>0$: $$ f(1) =\lim_{k\to\infty}\frac{f(\sqrt[2^k]{x})}{\sqrt[2^k]{x}} = \lim_{k\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(x)}{x} $$ Así, por simetría tenemos $f(x)=f(1)x$ todos los $x$.

Comentario: yo no era capaz de deducir la continuidad de $f$$1$, pero un posible enfoque podría ser el establecimiento $y = \frac{1}{x}$ y el uso de $xf(x) = f(x^2)$, una variación de $(I)$, para deducir:

\begin{gather} (x^2 - \frac{1}{x^2})f(1) = xf(x) - \frac{1}{x}f(\frac{1}{x}) = f(x^2) - f(\frac{1}{x^2}) \\ \implies \boxed{f(1) = \frac{f(x) - f(\frac{1}{x})}{x-\frac{1}{x}}} \end{reunir} Que tiene no sólo para los positivos $x$, pero por la simetría de todos los $x\neq 0$, y, a continuación, utilizar alguna de que $x\approx 1 \iff \frac{1}{x} \approx 1$ a mostrar la continuidad. Alternativamente, se podría intentar encontrar una patológico contra-ejemplo que no es continua, de modo similar, como es el caso de Cauchy funcional de la ecuación.