Mal entendimiento intuitivo de un límite?

Question

En mi libro de texto, antes de la introducción de la epsilon delta definición, se dio una definición de lo que es un límite. La definición sonaba algo como esto "$\lim \limits_{x \to a}f(x) = L$, si al $x$ se acerca a $a$, $f(x)$ se acerca a $L$"

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Pero es que siempre el caso con los límites? Lo que si $f(x) = 4,$, luego tenemos a $\lim \limits_{x \to 2}f(x) = 4$, pero no es cierto que cuando x se acerca a 2, f(x) se aproxima a 4. Tal vez en lugar debemos decir: "$\lim \limits_{x \to a}f(x) = L$, si al $x$ se acerca a $a$, $f(x)$ se aproxima o es igual a $L$".

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Por favor me corrija si estoy equivocado. Soy bastante nuevo en estas cosas. Por cierto, entiendo que la epsilon delta definición de la constante de la función de límite de caso de la cubierta, pero estoy más interesado en la definición de trabajo.

Answer 1

Estás en lo correcto. Que presente un matiz de la "definición de trabajo", un caso especial en el que "cada vez más cerca" es engañoso. Usted debe interpretar "acercando" como "llegar tan cerca como a ti te gusta". Esta es una más precisa 'definición', en cualquier caso. A continuación, la función constante escenario funciona bien. Usted puede conseguir tan cerca como le gusta a la constante, bastante trivial.

El "cada vez más cerca" de la definición que hace que suena como si un límite es de alguna manera indefinida cosa, moverse, acercarse a las cosas. Esto es engañoso. Una mejor intuición es "el límite en $x_0$ $f$ $L$" es "el valor de $f(x)$ puede hacerse tan cerca como te gusta a $L$ todos los $x$ que es lo suficientemente cerca de a, pero no igual a $x_0$".

Answer 2

Probablemente una mejor definición intuitiva es $f(x)$ puede hacerse arbitrariamente cerca de $L$ hacer $x$ lo suficientemente cerca como para $a$.

Evitar la incomodidad acerca de la constante de caso. Además, esto pone de relieve que es para TODOS los $\epsilon$. No es solo que la $f(x)$ está "más cerca", es que puede hacerse tan cerca como te gustaría.

Para un contraejemplo de "acercarse" es $\lim\limits_{x\to 0} -x^2$. Propongo que $\lim\limits_{x\to 0} -x^2 =1$ porque como $x$ se acerca a $0$ $-x^2$ se acerca a $1$. Sin embargo no se consigue dentro de$\frac12$$1$.

Answer 3

al $x$ se acerca a $a$, $f(x)$ se acerca a $L$

Que está mal. Consideremos dos ejemplos:

• Deje $f(x) = 6-(x-4)^2$. Claramente $f(x)$ nunca vuelve más grande de $6$, por lo que el límite no puede ser $7$, pero $f(x)$ se acerca a $7$ (y a todos los números que son más grandes que las $6$) $x$ se acerca a $4$, pero $\lim\limits_{x\to4}f(x)$$6$, no $7$.

• Supongamos que, como $x$ enfoques $4$, $g(x)$, según continuamente en $x$, sube a $10+0.1$, para luego descender a $10-0.1$, a $10+0.01$, para luego descender a $10-0.01$, a $10+0.001$, para luego descender a $10-0.001$, etc. A continuación,$\lim\limits_{x\to4} g(x)=10$. Pero $g(x)$ no mantener acercando a $10$, pero se pone alternativamente más cerca y más lejos aún: Como va abajo de $10+0.1$ $10$se acerca a $10$, y como se sigue yendo a la baja de$10$$10-0.1$, es llegar más lejos de $10$.

Answer 4

La "definición de trabajo" es en realidad NO funciona y que si acaso NO lo utilizan. Para hacer que funcione reemplazarlo con

$f$ obtiene arbitrariamente cerca de $L$ si $x$ suficientemente enfoques $a$

donde se arbitrariamente cerca de' no significa sólo el $f$ puede acercarse a $L$, pero, en cambio, que sin duda no va a conseguir aparte de $L$ más lejos que cualquier arbitrariamente a una distancia determinada.

En otras palabras

$f$ obtiene arbitrariamente cerca de $L$ y ahí se queda