Primero demostramos que ord $_P$ es una valoración discreta que satisface ord $_P(p) = 1$ . Escribimos ord en lugar de ord $_P$ para simplificar.
Sea $\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sea el homomorfismo canónico. Sea $g(X) \in \mathbb{Z}[X]$ . Denotamos por $\bar g(X)$ la reducción de $g(X)$ (mod $p$ ).
Lema 1 Sea $\Omega$ sea el cierre algbraico de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Sea $i$ sea un número entero tal que $1 \leq i \leq e$ . Sea $\omega_i$ sea una raíz de $\bar g_i(X)$ en $\Omega$ . Entonces existe un homomorfismo $\psi_i:A \rightarrow \Omega$ ampliando $\varphi$ tal que $\psi_i(\theta) = \omega_i$ . Además Ker( $\psi_i$ ) = $P_i$ donde $P_i = (p, g_i(\theta))$ .
Prueba: Sea $h(X) \in \mathbb{Z}[X]$ . Supongamos que $h(\theta) = 0$ . Desde $f(X)$ es irreducible, existe $r(X) \in \mathbb{Q}[X]$ tal que $h(X) = f(X)r(X)$ . Desde $f(X)$ es mónico, $r(X) \in \mathbb{Z}[X]$ . Por lo tanto $\bar h(X) = \bar f(X)\bar r(X)$ . Por lo tanto $\bar h(\omega_i) = \bar f(\omega_i)\bar r(\omega_i) = 0$ . Por lo tanto, existe un homomorfismo $\psi_i:A \rightarrow \Omega$ ampliando $\varphi$ tal que $\psi_i(\theta) = \omega_i$ .
Supongamos que $h(\theta) \in$ Ker( $\psi_i$ ), donde $h(X) \in \mathbb{Z}[X]$ . Existe $r(X) \in \mathbb{Z}[X]$ tal que $\bar h(X) = \bar g_i(X) \bar r(X)$ . Por lo tanto, existe $U(X) \in \mathbb{Z}[X]$ tal que $h(X) = g_i(X)r(X) + pU(x)$ . Por lo tanto $h(\theta) = g_i(\theta)r(\theta) + pU(\theta)$ . Por lo tanto $h(\theta) \in (p, g_i(\theta))$ . Por tanto, Ker( $\psi_i) \subset (p, g_i(\theta))$ .
Por el contrario, supongamos $h(\theta) \in (p, g_i(\theta))$ donde $h(X) \in \mathbb{Z}[X]$ . Existen $U(X), r(X) \in \mathbb{Z}[X]$ tal que $h(\theta) = pU(\theta) + g_i(\theta)r(\theta)$ . Por lo tanto $\psi_i(h(\theta)) = p\bar U(\omega_i) + \bar g_i(\omega_i)\bar r(\omega_i) = 0$ . Por lo tanto $h(\theta) \in$ Ker( $\psi_i$ ). Por lo tanto $(p, g_i(\theta)) \subset$ Ker( $\psi_i$ ). QED
Sea $\omega_i$ sea una raíz de $\bar g_i(X)$ en $\Omega$ para $i = 1,\dots,e$ . Por el Lemma 1, existe un homomorfismo $\psi_i:A \rightarrow \Omega$ ampliando $\varphi$ tal que $\psi_i(\theta) = \omega_i$ para $i = 1,\dots,e$ .
Lema 2 Sea $h(X) \in \mathbb{Z}[X]$ . Supongamos que $\psi_i(h(\theta)) = 0$ para $i = 1,\dots,e$ . Entonces $h(\theta) \equiv 0$ (mod $pA$ ).
Prueba: Dado que $\bar h(\omega_i)$ para $i = 1,\dots,e$ , $\bar h(X)$ es divisible por $\bar g_i(X)$ . Por lo tanto $\bar h(X)$ es divisible por $\bar f(X)$ . Por lo tanto $h(X) = f(X)H(X) + pR(X)$ para algunos $H(X), R(X) \in \mathbb{Z}[X]$ . Por lo tanto $h(\theta) = pR(\theta)$ . QED
Lema 3 Sea $\alpha \in A$ . $\Psi(θ) \alpha \equiv 0$ (mod $pA$ ) si y sólo si $\alpha \in P$ .
Prueba: Sea $\psi_1:A \rightarrow \Omega$ sea el homomorfismo del Lemma 1. Supongamos que $\Psi(θ) \alpha \equiv 0$ (mod $pA$ ). $\psi_1(\Psi(θ) \alpha) = \bar \Psi(\omega_1) \psi(\alpha) = 0$ . Desde $\bar \Psi(\omega_1) = \bar g_2(\omega_1)...\bar g_e(\omega_1) \neq 0$ , $\psi_1(\alpha) = 0$ . Por lo tanto $\alpha \in$ Ker( $\psi_1$ ). Por el Lemma 1, $\alpha \in P$ .
Por el contrario, supongamos $\alpha \in P$ . Desde $\psi_1(\alpha) = 0$ , $\psi_1(\Psi(\theta)\alpha) = 0$ . Si $i \neq 1$ , $\psi_i(\Psi(\theta)) = \bar\Psi(\omega_i) = 0$ . Por lo tanto $\psi_i(\Psi(\theta)\alpha) = 0$ . Por lo tanto $\psi_i(\Psi(\theta)\alpha) = 0$ para todos $i$ , $i = 1,\dots,e$ . Por el Lemma 2, $\Psi(\theta)\alpha \equiv 0$ (mod $pA$ ). QED
Lema 4 Sea $\alpha \in A$ . Sea $k \geq 0$ sea un número entero. Supongamos que $\Psi(\theta)^k\alpha \equiv 0$ (mod $p^kA$ ). Sea $\beta = (\Psi(\theta)^k\alpha)/p^k \in A$ . Entonces ord( $\alpha$ ) = $k$ sólo si $\beta$ no es divisible por $P$ .
Prueba: $\Psi(\theta)\beta \equiv 0$ (mod $pA$ ) si y sólo si $\Psi(\theta)^{k+1}\alpha \equiv 0$ (mod $p^{k+1}A$ ). Por lo tanto, la afirmación se deduce inmediatamente del lema 3. QED
Lema 5 Sea $k, l \geq 0$ sean números enteros. Sea $\alpha, \beta \in A$ . Supongamos que ord( $\alpha$ ) = $k$ y ord( $\beta$ ) = $l$ . Entonces ord( $\alpha\beta$ ) = $k + l$ .
Prueba: Dado que $\Psi(\theta)^k\alpha \equiv 0$ (mod $p^k$ ), existe $\lambda \in A$ tal que $\Psi(\theta)^k\alpha = p^k\lambda$ . Del mismo modo, existe $\mu \in A$ tal que $\Psi(\theta)^l\beta = p^l\mu$ . Entonces $\Psi(\theta)^{k+l}\alpha\beta = p^{k+l}\lambda\mu$ . Desde $\lambda\mu$ no es divisible por $P$ por el lema 4, ord( $\alpha\beta$ ) = $k + l$ . QED
Lema 6 Sea $\alpha \neq 0$ sea un elemento de $A$ . Existe un número entero $k \geq 0$ tal que ord( $\alpha$ ) = $k$ .
Pruebas: Supongamos $\Psi(\theta)^k\alpha \equiv 0$ (mod $p^kA$ ) para cada número entero $k \geq 0$ . Existe $\beta_k \in A$ tal que $\Psi(\theta)^k\alpha = p^k\beta_k$ para cada $k$ . Desde $\Psi(\theta)^{k+1}\alpha = \Psi(\theta)p^k\beta_k = p^{k+1}\beta_{k+1}$ , $\Psi(\theta)\beta_k = p\beta_{k+1}$ . Por lo tanto $\beta_k = \pi\beta_{k+1}$ donde $\pi = p/\Psi(\theta)$ . Desde $\pi \in PA_P$ , $\beta_kA_P \subset \beta_{k+1}A_P$ para cada número entero $k \geq 0$ . Desde $A_P$ es noetheriano, existe un número entero r tal que $\beta_rA_P = \beta_{r+1}A_P$ . Por lo tanto, existe $u \in A_P$ tal que $\beta_{r+1} = u\beta_r$ . Desde $\beta_r = \pi\beta_{r+1}$ , $\beta_r = u\pi\beta_r$ . Por lo tanto $(1 - u\pi)\beta_r = 0$ . Desde $\pi \in PA_P$ , $1 - u\pi$ es invertible en $A_P$ . Por lo tanto $\beta_r = 0$ . Desde $\Psi(\theta)^r\alpha = p^r\beta_r$ , $\alpha = 0$ . Esto es una contradicción. QED
Lema 7
ord( $p$ ) $= 1$ .
Prueba: Es evidente que $\Psi(\theta)p \equiv 0$ (mod $p$ ). Supongamos que $\Psi(\theta)^2 p \equiv 0$ (mod $p^2$ ). Entonces $\Psi(\theta)^2 \equiv 0$ (mod $p$ ). Dado que $p \equiv 0$ (mod $P$ ), $\Psi(\theta)^2 \equiv 0$ (mod $P$ ). Por lo tanto $\Psi(\theta) \equiv 0$ (mod $P$ ). Dado que $\Psi(\theta) = g_2(\theta)\dots g_e(\theta)$ Esto es una contradicción. QED
Lema 8 Sea $\pi = p/\Psi(\theta)$ . Cada elemento distinto de cero $x$ de $A$ puede escribirse unívocamente como $x = \pi^k y$ donde $k \geq 0$ es un número entero y $y \in A$ et $y$ no es divisible por $P$ .
Prueba: Sea ord( $x$ ) = $k$ . Entonces $\Psi(\theta)^k x \equiv 0$ (mod $p^kA$ ). Por lo tanto, existe $y \in A$ tal que $\Psi(\theta)^k x = p^k y$ . Por lo tanto $x = \pi^k y$ . Por el Lemma 4, $y$ no es divisible por $P$ . QED
Lema 9 Sea $x, y$ sean elementos distintos de cero de $A$ . Entonces ord( $x + y$ ) $\geq$ mín{ord( $x$ ), ord( $y$ )}.
Prueba: Podemos suponer $x + y \neq 0$ . Sea ord( $x$ ) = $k$ , ord( $y$ ) = $l$ . Podemos suponer que $k \leq l$ . Por el Lemma 8, podemos escribir $x = \pi^ku$ donde $u$ no es divisible por $P$ . Del mismo modo $y = \pi^lv$ . Entonces $x + y = \pi^ku + \pi^lv = \pi^k(u + \pi^{l-k}v)$ . Por lo tanto, por el lema 5, ord( $x + y$ ) = ord( $\pi^k(u + \pi^{l-k}v)$ ) = $k +$ ord( $u + \pi^{l-k}v$ ) $\geq k$ . QED
Lema 10 Sea $\mathbb{Z}_{\infty} = \mathbb{Z} \cup$ { $\infty$ }. Existe un único mapa ord: $K \rightarrow \mathbb{Z}_{\infty}$ extender ord con las siguientes propiedades.
(1) ord( $K^*$ ) = $\mathbb{Z}$ .
(2) ord( $xy$ ) = ord( $x$ ) + ord( $y$ ) para $x, y \in K^*$ .
(3) ord( $x + y$ ) $\geq$ mín{ord( $x$ ), ord( $y$ )}
Prueba: Sea $x \in K^*$ . Si $x = a/b$ con $a, b \in A$ definimos ord( $x$ ) = ord( $a$ ) - ord( $b$ ). Si $x = c/d$ con $c, d \in A$ , $x = a/b = c/d$ . Desde $ad = bc$ , ord( $a$ ) + ord( $d$ ) = ord( $b$ ) + ord( $c$ ). Por lo tanto ord( $a$ ) - ord( $b$ ) = ord( $c$ ) - ord( $d$ ). Por lo tanto ord( $x$ ) está bien definida. Entonces (1), (2), (3) están claros.
La singularidad también es evidente. QED
Lema 11 Sea $\pi = p/\Psi(\theta)$ . Sea $U$ = { $s/t$ ; $s, t \in A - P$ }. Sea $x$ sea un elemento distinto de cero de $K$ . Entonces $x$ puede escribirse unívocamente como $x = \pi^k u$ donde $k$ es un número entero y $u \in U$ .
Prueba: Sea ord( $x$ ) = $k$ . Sea $u = x/\pi^k$ . Entonces ord( $u$ ) = ord( $x$ ) - $k = 0$ . Sea $u = a/b$ con $a, b \in A$ . Sea $a = \pi^i s$ por el Lemma 8, donde $s$ no es divisible por $P$ . Del mismo modo $b = \pi^j t$ donde $t$ no es divisible por $P$ . Entonces $u = \pi^{i-j}s/t$ . Dado que ord( $u$ ) = 0, $i = j$ . Por lo tanto $u = s/t$ .
La singularidad es evidente. QED
Propuesta Se cumplen las siguientes afirmaciones.
(1) ord puede extenderse a una única valoración discreta de $K$ y su anillo de valoración es $A_P$ .
(2) ord( $p$ ) = $1$ .
Prueba: Por el Lemma 10, ord puede extenderse a una única valoración discreta de $K$ . Por el lema 7, ord( $p$ ) = $1$ .
Queda por demostrar que $A_P$ es su anillo de valoración. Sea $x \in K^*$ . Supongamos que ord( $x$ ) $\geq 0$ . Por el Lemma 11, $x = \pi^k s/t$ donde $s, t \in A - P$ . Desde $\pi \in PA_P$ , $x \in A_P$ .
Por el contrario, supongamos $x \in A_P$ . $x$ puede escribirse como $x = a/s$ donde $a \in A$ , $s \in A - P$ . Entonces ord( $x$ ) = ord( $a$ ) - ord( $s$ ) = ord( $a$ ) $\geq 0$ .
Por lo tanto $A_P$ = { $x \in K$ ; ord( $x$ ) $\geq 0$ como se afirma. QED
