Fiel grupo de acciones y dimensiones

Question

Sólo una pregunta rápida. Estoy tratando de entender la respuesta a una de mis preguntas anteriores. El problema preciso que quiero mostrar es como sigue.

Deje $G$ ser un grupo que actúa fielmente en un colector $X$. Si $G$ es tal que $\dim G$ tiene sentido (por ejemplo, $G$ es también un colector), a continuación,$\dim G \leq \dim X$.

Supongamos que no, es decir, $\dim G > \dim X$. A continuación, queremos mostrar que el núcleo de la homomorphism $G \to \operatorname{Aut}(X)$ es trivial. Este debe seguir si $\dim \operatorname{Aut}(X) = \dim X$, pero en general $\operatorname{Aut}(X)$ puede ser mucho más grande de lo $X$. (También, qué $\dim \operatorname{Aut}(X)$ sentido?)

Alguna sugerencia?

EDIT: resulta que esta proposición es falsa como los ejemplos a continuación muestran, y la respuesta que he ligado ha sido retirado (y está siendo reescrito?). Gracias a todos por la ayuda.

Answer 1

Esto no es cierto. Por ejemplo, $SO(3)$ actos fielmente en el $2$-esfera $S^2$, pero $SO(3)$ tiene dimensión $3$, e $S^2$ sólo tiene dimensión $2$.

Answer 2

Esto no es cierto. $G=GL_2(\mathbb{R})$ actos fielmente en $\mathbb{R}^2$, no?