Solucionar $x^4-3x^2+1=0$ en términos de coseno.

Question

Puedo poner la ecuación en la forma de una ecuación cuadrática:

$(x^2)^2-3x^2+1=0$

A continuación, utilizando la fórmula cuadrática,

$x^2=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}$

$x^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$x=\pm\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\pm\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Así que hay cuatro raíces como era de esperar dada la ecuación es una cuártica. Pero yo realmente no sé cómo poner las respuestas en términos de coseno. Cualquier sugerencias?

Answer 1

$\cos(4 t) = 8 \cos(t)^4 - 8 \cos(t)^2 + 1$, por lo que si $x = \sqrt{3} \cos(t)$, $$x^4 - 3 x^2 = 9 (\cos(t)^4 - \cos(t)^2) = \dfrac{9}{8} (\cos(4t) - 1)$$ Por lo tanto para solucionar $x^4 - 3 x^2 + c = 0$, tome $t = \arccos(1 - 8c/9)/4$ y $$x = \sqrt{3} \cos(t) = \sqrt{3} \cos \left( \dfrac{1}{4} \arccos\left(1 - \dfrac{8c}{9}\right)\right)$$ Si desea que esta solución sea real, usted necesita $1 \ge 1 - 8c/9 \ge -1$, es decir, $0 \le c \le 9/4$.

Answer 2

deje $\tau = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$ ser el cociente de oro que es la solución positiva de la ecuación cuadrática $x^2 - x - 1=0$ también tenemos todos los poderes de $\tau$ como combinación lineal de a $1, \tau$ $ \dfrac{1}{\tau} = \dfrac{\sqrt 5 -1}{2}, \tau^2 = \tau + 1 =\dfrac{3+\sqrt 5}{2}, \dfrac{1}{\tau ^2} = 2 - \tau = \dfrac{3 - \sqrt 5}{2}, \cdots$

desde el pentágono regular se consigue $\cos 36^\circ = \tau^2/2, \cos 72^\circ = \dfrac{1}{2\tau}$ la ecuación cuadrática que ha $\tau^2, 1/\tau^2$ de las raíces es $(x - \tau^2)(x - 1/\tau^2) = x^2 - 3x + 1$ así que las raíces de la ecuación de cuarto grado $x^4 - 3x^2 + 1 = 0$ $\pm \tau, \pm \dfrac{1}{\tau}.$

podemos expresar las dos raíces $\dfrac{1}{\tau} = 2 \cos 72^\circ, \tau^2 = 2\cos 36^\circ$.

Answer 3

Tomando nota de que una diagonal de un pentágono es $\frac{1+\sqrt5}{2}$, podemos trazar una diagonal de 2 no adyacentes verticies de una unidad del pentágono y obtener un triángulo con el grado de las medidas de $36,36,108$ y longitudes de los lados $1,1,\frac{1+\sqrt5}{2}$. Ahora bien, si tomamos un coseno de un 36 grados de ángulo, tenemos que $\cos(36^\circ)=\frac{\frac{1+\sqrt5}{2}}{1}=\frac{1+\sqrt5}{2}$. Usted puede encontrar la solución mediante la toma de $180^\circ-36^\circ$