$\sqrt{x + \sqrt{2x -1}} + \sqrt{x- \sqrt{2x-1}} = A$

Question

Estoy desconcertante sobre el siguiente problema, que involucra una ecuación de la forma:

$$\sqrt{x + \sqrt{2x -1}} + \sqrt{x- \sqrt{2x-1}} = A$$

El problema consiste en encontrar los valores reales de x correspondiente a A = $\sqrt{2}$, A = 1, y = 2, donde las raíces deben ser no negativos los números reales.

Hasta ahora, he encontrado que a = $\sqrt{2}$ cuando x = 1:

$$\sqrt{1 + \sqrt{2(1) -1}} + \sqrt{x- \sqrt{2(1)-1}} = \sqrt{1 + 1} + \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2}$$

Pero no es tan obvio para mí cómo ir sobre cómo obtener los valores de x cuando a = 1 o A = 2, por ejemplo. Y cómo puedo estar seguro de que he encontrado todos los valores de x, si hay más de uno? Y cómo puedo estar absolutamente seguro de que sólo hay una solución?

Y si nos ponemos a pensar de otra manera - en general, para la cual los valores de Una ¿hay soluciones?

Algunos pensamientos sobre cualquier de los de arriba sería muy apreciada!

Answer 1

Sugerencia: Si la plaza de la ecuación, se obtiene que

$$2x + 2 |1-x| = A^2$$

Pregunta: ¿cada una de las soluciones a la ecuación anterior convertirse en una solución a la ecuación original? Por qué, o por qué no?

Considere la posibilidad de $x= 0$, $x=0.5$, $x=1$, $x=\sqrt{2}$, $x = \sqrt{2}$, $x = \frac{e}{\pi}$ etc...

Answer 2

Buscamos soluciones reales. Deje $y=2x-1$. Tenga en cuenta que $x\ge \frac{1}{2}$. Tenemos $x=\frac{y+1}{2}$. Entonces $$x+\sqrt{2x-1}=\frac{y+1}{2}+\sqrt{y}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{y})^2.$$ Tomando la raíz cuadrada, nos encontramos con que $$\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\sqrt{y}).$$ Casi del mismo modo, nos encontramos con que $$\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}|1-\sqrt{y}|.$$ Añadir, nos encontramos con la ecuación $$(1+\sqrt{y})+|1-\sqrt{y}|=\sqrt{2}A.$$ Si $\sqrt{y}\le 1$, obtenemos $A=\sqrt{2}$, con ninguna de las otras condiciones en $y$. Que nos da un intervalo de soluciones al $A=\sqrt{2}$.

Si $\sqrt{y}\gt 1$, llegamos después de un poco de manipulación en $y=\frac{A^2}{2}$. Así que no hay solución si $A=1$, y de hecho si $A\lt \sqrt{2}$. No hay una única solución si $A\gt \sqrt{2}$.