Integral de un exponencial

Question

Tengo lo siguiente: $$ I(a,b) \equiv\int_{-\infty}^\infty e^{\frac{-1}{2}\left(ax^2+\frac{b}{x^2}\right)}dx$$ donde $a,b>0$. Y tengo la siguiente sustitución como pista: $$y=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a}x-\frac{\sqrt{b}}{x}\right)$$ Y la integral debe ser evaluada. Pero parece que estoy teniendo problemas para resolverla. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Al resolver $y=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a}x-\frac{\sqrt{b}}{x}\right)$ para $x$ obtenemos $$\left\{\left\{x\to \frac{y}{\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{\sqrt{a} \sqrt{b}+y^2}}{\sqrt{a}}\right\},\left\{x\to \frac{\sqrt{\sqrt{a} \sqrt{b}+y^2}}{\sqrt{a}}+\frac{y}{\sqrt{a}}\right\}\right\}$$ y ahora debemos insertar $x$ por $x$ en el exponente y luego obtenemos $$dy=\frac{y}{\sqrt{a} \sqrt{\sqrt{a} \sqrt{b}+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{a}}dx$$ Espero que esto te ayude

Answer 2

También me quedé atascado en tu pista. Así es como hice tu integral.

Primero dejando $x = \frac{t}{\sqrt{a}}, \; dx = \frac{dt}{\sqrt{a}}$, obtenemos

$$ \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}\left(a x^2 + \frac{b}{x^2}\right)} \, dx = \frac{1}{\sqrt{a}} I(a b), $$

donde

$$ I(\omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}\left(t^2 + \frac{\omega}{t^2}\right)} = 2\int_{0}^\infty e^{-\frac{1}{2}\left(t^2 + \frac{\omega}{t^2}\right)} \, dt. $$

Para encontrar $I(\omega)$, deja que $t = 1/z, \; dt = -dz/z^2$ para obtener

$$ I(\omega) = 2\int_{0}^\infty e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z^2} + \omega z^2\right)} \, \frac{dz}{z^2}. $$

Diferenciando ambos lados con respecto a $\omega$ da

$$ I'(\omega) = -\int_{0}^\infty e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z^2} + \omega z^2\right)} \, dz, $$

y dejando $z = \frac{y}{\sqrt{\omega}}, \; dz = \frac{dy}{\sqrt{\omega}}$,

$$ I'(\omega) = -\frac{1}{\sqrt{\omega}}\int_{0}^\infty e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\omega}{y^2} + y^2\right)} \, dy = -\frac{1}{2\sqrt{\omega}}I(\omega). $$

Usando $I(0) = \sqrt{2\pi}$, resolver la EDO separable da

$$ I(\omega) = \sqrt{2\pi} e^{-\sqrt{\omega}}. $$

Por lo tanto, la integral original es

$$ \frac{1}{\sqrt{a}} I(a b) = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} e^{-\sqrt{a b}}. $$