Demostrar un hecho básico en una combinación lineal de los vectores

Question

Deje $x_i (i=1,...,n, n>d)$ ser un vector unitario en $R^d$. $c_i>0$ es un real positivo escalar. Cómo probar el siguiente hecho?

Hecho: existen algunos vectores $x_i$ tal que $\sum_{i=1}^n c_i x_i=0$ si y sólo si $c_i\le\sum_{j\neq i}c_j, \forall i$.

La necesidad es fácil de probar. (Mi prueba de la necesidad: Si $\sum_{i=1}^n c_i x_i=0$,$c_i x_i = -\sum_{j\neq i}c_j x_j$. Por lo $\| c_i x_i \|=c_i\le\sum_{j\neq i}\| c_j x_j\|=\sum_{j\neq i}c_j)$.

Pero, ¿cómo demostrar la suficiencia? Que es: si $c_i\le\sum_{j\neq i}c_j, \forall i$, podemos encontrar siempre $x_i$ tal que $\sum_{i=1}^n c_i x_i=0$? Parece muy básico de resultado, pero no es fácil de demostrar para mí.

Gracias por su ayuda. Shiyu

Answer 1

Sugerencia:

Suponga $c_1 \le c_2 \le \dots \le c_n$.

Puede intentar encontrar una $k$ tal que $c_1 + \dots + c_{k-1}$, $c_k$ y $c_{k+1} + \dots + c_n$ forman los lados de un triángulo?