Discusión:
Lo que usted está tratando de mostrar es de naturaleza global. El ejemplo de la curva sinusoidal que usted describe en $\mathbb{R}^2$ o el doble-trenzado anillo Comportamiento se describe en $\mathbb{R}^3$ se muestra en este. Usted necesitará técnicas que el respeto de esta naturaleza global de su resultado.
El resultado que usted desea, ser de naturaleza global, a mí me parece tan difícil de demostrar como la declaración de que cualquier cerrado, conectado, dimensión $n$ submanifold $M$ $\mathbb{R}^{n+1}$ separa $\mathbb{R}^{n+1}$ en una desenfrenada pieza y un almacén de la pieza (es decir, $\mathbb{R}^{n+1}-M$ tiene dos componentes, uno ilimitados y una acotada) tal que, a $p \in M$, un (local) de $M$ es en la componente no acotada, y el otro (local) de $M$ es en el delimitada componente.
Este hecho realidad demuestra que $M$ está orientado, donde la orientación está dada por un vector normal que apunta en la componente no acotada, dicen. (La otra opción sería que apunta en el delimitada componente).
También demuestra su resultado: sólo Hay dos orientaciones en un conectada, orientado al colector, por lo que su orientación debe ser uno de estos dos. Luego, en el máximo de la componente no acotada es necesariamente y en el min la componente no acotada es necesariamente abajo, dándole una orientación a la satisfacción de lo que usted desea; la otra orientación intercambio ambos de estos también hace lo que quiere.
Usted necesita algunas técnicas para dar un resultado global como este. La transversalidad es la herramienta estándar para hacer esto en topología diferencial. También hay topología algebraica técnicas que probar esto. Voy a describir la transversalidad de las técnicas y de cómo probar esto a continuación.
General De La Transversalidad Cuenta:
Una buena referencia para el siguiente sería Topología Diferencial por Guillemin y Pollack.
El mod $2$ transversalidad de la intersección de la cuenta de dos submanifolds $A$ $B$ de la dimensión de $n$ $k$ dentro de una $n+k$ dimensiones del colector es un recuento del número de veces que se cruzan modulo $2$, en el caso cuando se cruzan de manera transversal (es decir, "ir directamente a través de" unos a otros; la condición técnica es que $TA_p + TB_P = TM_p$). Cuando no es así, se define por homotoping ligeramente para que se cruzan de manera transversal y, a continuación, a contar (un general, el teorema establece que tal homotopy siempre está disponible y se puede hacer muy pequeño en cualquier sentido).
Este recuento es invariante bajo homotopies en general, que es una manera de decir es llegar a algo de naturaleza global. El hecho de que nuestro recuento de mod $2$ era esencial para este, y la idea intuitiva es que si introducimos nuevas intersecciones por un homotopy, que siempre vienen en pares: pensar, por ejemplo, de pasar de una curva a través de una línea, generando dos puntos de intersección. (En el caso de que todo tiene una orientación, también podemos definir estos recuentos con los signos, pero que no entran en juego aquí.)
Este es definido, incluso en el caso de que $A$ y/o $B$ tiene límite, siempre y cuando se especifique que los límites son distintos y están obligados a permanecer bajo homotopy. También se define cuando uno de los colectores no es compacto, siempre y cuando sea adecuada (de manera intuitiva, funciona hasta el infinito, de modo que después de cierto punto ya no interactuar con los otros; formalmente esto significa que cualquier subconjunto compacto de la temperatura del colector de lo cruza en un conjunto compacto).
La transversalidad cuenta de esta situación:
Deje $M$ estar conectada, cerrado, dimensión $n$ sub colector de $\mathbb{R}^{n+1}$.
Dado un punto de $x \in \mathbb{R}^{n+1}-M$, definir $m_x$ de mod $2$ transversal recuento de las intersecciones de cualquier medio infinito de rayos de partida en$x$$M$.
Puedo reclamar esto es independiente de los rayos elegido. Para ver esto, considere la posibilidad de dos rayos. Me dicen que tienen el mismo cargo de mod $2$. Palo de los dos rayos juntos. Debemos mostrar esta $V$ forma se cruza con el colector de cero tiempos de mod $2$. Para ver esto, que de cerca por un arco circular en algunos de los grandes de la distancia (más allá de algunas finito de bolas que $M$ está contenida en). A continuación, tenemos un círculo cerrado en $\mathbb{R}^{n+1}$ somos la intersección con la a $M$ con el mismo mod $2$ intersección cuenta como nuestra $V$ forma. Pero cualquier círculo en $\mathbb{R}^{n+1}$ es homotópica a cualquier otro; en particular, es homotópica a un pequeño círculo que se pierde $M$, por lo que el número es cero mod $2$.
El uso de la cuenta:
Vamos a demostrar que no son precisamente dos de los componentes de a $\mathbb{R}^{n+1} - M$, un componente no acotada y delimitada componente.
Deje $C_0 = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} - M : m_x = 0\}$$C_1 = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} - M : m_x = 1\}$.
Estos son distintos y están abiertos también (por el hecho de que el recuento sigue siendo el mismo en homotopy donde el límite de punto de el rayo que no llegue a $M$).
Además, cerca de cualquier punto en $M$, por el local de la forma de una inmersión, puntos en los lados opuestos localmente tienen recuentos que se diferencian por $1 \mod 2$.
Finalmente, en cada punto fuera de una gran bola que contiene $M$ debe ser en $C_0$ (tomar un rayo de rumbo hacia el exterior, lejos de la bola), por lo que el unbounded uno y $C_1$ está acotada.
Esto termina la reclamación en la discusión de la sección, que, a continuación, comprueba tu resultado como se discutió allí.
No es necesario mostrar cada una de las $C_0$ $C_1$ está conectado, pero aquí está un resumen de que:
Para ver cada uno se conecta, me dice que un tubular vecindario $T$ $M$ (ver Guillemin & Pollack, por ejemplo, para la discusión de este si no está familiarizado) en $\mathbb{R}^{n+1}$ tal que $T-M$ tiene más de dos componentes. Los dos componentes de la parte puede ser visto por los locales para una inmersión más el hecho de que cualquiera de los dos puntos en $M$ puede ser conectado por un compacto de arco.
Ahora, desde cualquier punto de $x \in C_0$, dibujar un rayo de partida en $x$. Este rayo tiene una primera vez impacta $M$. Justo antes de que estaba dentro de $T-M$. Esto demuestra que cualquiera de los dos puntos en $C_0$ están en la misma componente conectado de $C_0$. Asimismo, para $C_1$.
