División de álgebra sobre un algebraicamente cerrado de campo

Question

Estoy leyendo mis notas y me topé con una prueba de que yo no comprender plenamente, y tenía la esperanza de que tal vez alguien podría dar más detalles.

El objetivo principal era mostrar que si $k$ es algebraicamente cerrado, entonces el anillo de grupo $kG\cong M_{n_1}(k)\times....\times M_{n_r}(k)$ (donde la característica de que el campo no divide $|G|$).

Primero se aplicó Maschkes teorema y obtuvo $kG\cong M_{n_1}(D_1)\times...\times M_{n_r}(D_r)$, la segunda queríamos demostrar que en este caso cada una de las $D_i$ es igual a $k$.

Esta son mis mal tomado notas:

Deje $x\in D$ $k[x]\in D$ es un finito dimensionales $k$-álgebra que es un dominio (debido a $D$ es el de la división): $k[x]/k$ es integral o $\forall y\in k[x], y\neq 0$ el mapa inducida por la izquierda de la multiplicación por $y$ es una inyección, por lo tanto, un surjection, por tanto, un isomorfismo. Por lo $k[x]/k$ es finito con $k$ algebraicamente cerrado, a continuación,$k=k[x]$$x\in k$.

Así que en la anterior prueba que ver si $k[x]/k$ era parte integral de su finita y, a continuación, hemos terminado, pero no entiendo la parte "o".

Gracias

Answer 1

Realmente no entiendo lo que usted escribió. Aquí está la declaración y después de la prueba: le dicen que si $D$ es finito-dimensional de la división de álgebra sobre un algebraicamente cerrado campo de $k$, entonces, en el hecho de $D \cong k$. Como prueba, si $x \in D$, entonces se debe considerar la inversa cerrado sub-anillo de $D$ generado por $k$$x$. Este es finita, por lo tanto algebraica, la extensión de las $k$, por lo tanto debe ser igual a $k$.