Abierto y cerrado de bolas en $C[a,b]$

Question

Deje $X$ que no sea un conjunto vacío y deje $C[a,b]$ denota el conjunto de todos los reales o complejos con valores de funciones continuas en $X$ con una métrica inducida por el supremum de la norma.

Cómo encontrar el abierto y el cerrado bolas en $C[a,b]$? Podemos ver geométricamente? Por ejemplo, qué es una bola de $B(x_0;1)$ es decir, bola centrada en $x_0$ radio $1$$C[a,b]$. Puedo visualizar en $\mathbb R^n$, pero cuando se trata de espacios funcionales no tengo ni idea de cómo identificarlos?

Gracias por ayudarme.

Answer 1

Sí, usted debe pensar en él como puedes pensar en cualquier otro espacio métrico. Cada norma $\|\cdot\|$ induce una métrica $d(x,y) := \|x-y\|$.

En tu ejemplo, $$ B(x_0, 1) = \{ f: X \to \mathbb R \Big \vert \|f - x_0\|_\infty < 1 \}$$

En el $\sup$-norma, estos $f$ son todas las funciones que no son nunca más lejos de $x_0$ cualquier $x$$\mathbb R$. Esto es lo que parece:

Answer 2

Así que, soy nuevo aquí y lo siento si me tiene a mal esto, pero al parecer no estoy destinado a responder a otras respuestas; sin embargo, también necesito 50 puntos de reputación para agregar un comentario, así que no se puede hacer eso? De todos modos, creo que las respuestas anteriores son incorrectas. Acaba de tomar el centro de una bola para ser el cero de la función (radio 1) y $f$$2/\pi \arctan(x)$. A continuación, $f(x)$ es siempre dentro de una distancia de 1 desde el centro (estrictamente) en R, pero $f$ está a una distancia de 1 desde el cero de la función (exactually 1, por lo que no en el open de bola) en la función de espacio, porque el supremum de $\{f(x)-0 | x \in R\}$ es de hecho 1. En el hecho de que f es sobre la boundry en la función de espacio a pesar de sus valores nunca tocar 1 o -1 en R.