Pregunta: Si $f(\mathbb{R})$ es compacto y $f$ es continua, entonces es $f$ uniformemente continua?
Antecedentes:
Pensé en la pregunta de demostrar que "Si una función es periódica y continua, entonces la función es uniformemente continua" (la Prueba de que una función periódica es limitado y uniformemente continua.)
Resulta que si $f$ tiene un período de $p$,$f([0,p]) = f(\mathbb{R})$. Ya que la imagen de una función continua en un conjunto compacto es compacto, $f(\mathbb{R})$ es compacto.
Por lo tanto, me preguntaba si es posible generalizar: Si $f(\mathbb{R})$ es compacto y $f$ es continua, entonces es $f$ uniformemente continua?
Intento:
Deje $f:\mathbb{R} \to [0,1]$ ser continua. A continuación, $f$ no es un bijection (ver: http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_a_topologist_2011&task=show_msg&msg=2700.0002).
Deje $f(p) = 0$ y deje $f(q) = 1$. Sin pérdida de generalidad, vamos a $p < q$. Para todos los $y \in (0,1)$, por el Teorema del Valor Intermedio, existe un $c \in R$ tal que $f(c) = y$$p < c < q$.
Por lo tanto, $f([p,q]) = f(\mathbb{R}) = [0,1]$. Recordemos que una función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua. Por lo tanto $f$ es uniformemente continua en a $[0,1]$.
Deje $\epsilon > 0$. Para $x,y \in [p,q]^c$ tal que $|x-y|< \delta_{[p,q]}$, por la definición de $f$,$f(x),f(y) \in [0,1]$. Por el teorema del valor intermedio, existe $a,b \in [p,q]$ tal que $f(a) = f(x)$$f(b) = f(y)$. Por lo tanto, $|f(a) - f(b)| = |f(x) - f(y)| < \epsilon$.
Finalmente:
Es el teorema de la correcta? Me estoy perdiendo un contra-ejemplo o es que hay un vacío en mi prueba?
Es cierto en $\mathbb{R}^n$? Hay un teorema del valor intermedio para espacios vectoriales?
Gracias
