Si el área de $ ABP$ es $ 192 $ encontrar $ PA*PC $

Question

Dejemos que $ABCD$ sea un trapecio isósceles con bases $ AB=32 $ y $CD=18$ . Dentro de $ABCD$ hay un punto $P$ tal que $ \angle PAD= \angle PBA $ y $ \angle PDA =\angle PCD $ . Si el área de $ ABP$ es $ 192 $ encontrar $ PA*PC $ .

Mi intento :

dirigido por $P$ perpendicular a la base; interseca los puntos de la base $E$ y $F$ . $S_{ABP}=\frac12AB\cdot PE$ $\Rightarrow$ $PE=12$ . Cómo probar $AE=EB$ ?

Answer 1

La respuesta es $PA$ * $PC$ = $20$ * $15$ = $300$ .

Como mostró maxkor, la distancia perpendicular del punto $P$ a la base en el punto $E$ es $12$ .

Supongamos que $AE$ = $EB$ como sugirió maxkor. Asumiendo que el origo está en el punto $A$ Esto significa que el punto $P$ se encuentra en $(16,12)$ . Supongamos además que la altura del trapecio es $24$ .

Esto significa que los vértices del trapecio están situados de la siguiente manera:

$A = (0, 0)$

$B = (32, 0)$

$C = (25, 24)$

$D = (7, 24)$

El cálculo de $PA$ y $PC$ es ahora trivial dadas las coordenadas de todos los vértices y el punto $P$ . Sin embargo, primero tenemos que demostrar que este trapecio cumple los requisitos, es decir, que $\angle PAD= \angle PBA$ y $\angle PDA =\angle PCD$ . Podemos hacerlo utilizando la Ley de los Cosenos:

$Cos(\angle PAD) = \frac{15^2-(25^2+20^2)}{-2*25*20} = 0.8$

y

$Cos(\angle PBA) = \frac{12^2-(16^2+20^2)}{-2*16*20} = 0.8$

Por lo tanto, $\angle PAD= \angle PBA$ .

$Cos(\angle PDA) = \frac{20^2-(25^2+15^2)}{-2*25*15} = 0.6$

y

$Cos(\angle PCD) = \frac{15^2-(18^2+15^2)}{-2*18*15} = 0.6$

Por lo tanto, $\angle PDA= \angle PCD$ .

QED.

Answer 2

Dibuja el círculo a través de $PAB$ : de $\angle PAD= \angle PBA$ se deduce que $AD$ y $BC$ son tangentes al círculo en $A$ y $B$ . Del mismo modo, el círculo que atraviesa $PCD$ es tangente a $AD$ y $BC$ en $D$ y $C$ .

Por otra parte, es bien sabido que el eje radical $PQ$ biseca las tangentes comunes $AD$ y $BC$ de los dos círculos, porque $KP\cdot KQ=CK^2=BK^2$ . Esto implica $PF=PE=12$ , $DH=24$ y $BC=AD=\sqrt{24^2+7^2}=25$ .

De la similitud de los triángulos $PKC$ y $CPD$ se obtiene $CP:CD=PK:PC$ Es decir: $PC^2=18PK$ . Análogamente, a partir de la similitud de los triángulos $JPA$ y $APB$ se obtiene $PA:AB=PJ:PA$ Es decir: $PA^2=32PJ$ .

De ello se desprende que: $$ PA^2\cdot PC^2=18\cdot32\,PJ\cdot PK=18\cdot32\, QK\cdot PK= 18\cdot32\, CK^2, $$ para que $$ PA\cdot PC= 72\, CK= 24\,{BC\over2}=300. $$